Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей

На данном уроке мы сформируем понятие и дадим определение алгебраической дроби, проведем многочисленные аналогии с арифметической дробью. Решим много примеров различной сложности на сокращение алгебраических дробей

Тема: Разложение многочленов на множители

Урок: Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей

1. Формулировка понятия алгебраической дроби

При делении числа на число мы получаем целое число :

Но при делении числа на число мы получаем уже не целое число, и это выражение называем арифметической дробью:

При делении некоторого одночлена на другой одночлен мы получаем третий одночлен:

Но при делении того же самого одночлена на другой одночлен мы не получаем одночлен, а получаем выражение, называемое алгебраической дробью:

Итак, при делении различных одночленов мы можем получить результат в двух видах: в виде одночлена или в виде алгебраической дроби, аналогично целым числам, когда в результате деления целого числа на целое число мы можем получить третье целое число либо арифметическую дробь.

Такая же ситуация возникает и при делении многочлена на одночлен.

в результате деления получен многочлен;

в результате деления получена алгебраическая дробь;

Обратим внимание, что целые числа, одночлены и многочлены также можно рассматривать как алгебраическую дробь в виде выражения деленного на единицу.

2. Работа с арифметическими дробями

Алгебраическая дробь – это деление одного многочлена на другой многочлен: , P – числитель дроби, Q – знаменатель дроби; данные многочлены можно преобразовывать, раскладывать на множители любыми известными нам методами. Дробь можно сокращать на общие множители, то есть упрощать исходную дробь, так же как мы делали с арифметическими выражениями. Рассмотрим пример:

Пример 1:

Чтобы упростить данное выражение, нужно разложить числитель и знаменатель на простые множители:

Теперь можно сократить на общий множитель:

Итак, при работе с арифметическими дробями для упрощения выражения мы и числитель, и знаменатель разлагали на простые множители, опираясь на основную теорему арифметики о разложении составных чисел на простые множители, после чего сокращали общие множители.

3. Алгебраические дроби при делении одночленов

По аналогии действия с алгебраическими дробями заключаются в следующем: нужно и числитель, и знаменатель разложить на множители, а после этого, если есть возможность общие множители сократить. Рассмотрим примеры:

Пример 2:

В результате деления одночленов получен новый одночлен;

Пример 3:

В результате деления одночленов получена алгебраическая дробь;

4. Алгебраические дроби при делении многочленов

Пример 4:

       

Разложим числитель и знаменатель на множители:

В результате деления многочленов получена алгебраическая дробь;

Пример 5:

Раскладываем числитель и знаменатель на множители методом вынесения общего множителя:

Применим в знаменателе формулу разности кубов:

Сократим общий множитель:

В результате деления многочленов получена алгебраическая дробь;

Пример 6:

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Сократим общие множители:

В результате деления многочленов получена алгебраическая дробь;

5. Выводы по уроку

Вывод: в данном уроке мы изучили новое понятие – алгебраическая дробь, и сравнили ее с уже известной нам арифметической дробью. Мы решили много различных примеров на сокращение алгебраических дробей.

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

1. Вся элементарная математика .

2. Школьный помощник .

3. Интернет-портал Nado5.ru .

Рекомендованное домашнее задание:

Задание 1: Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 435, ст.151;

Задание 2: Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 436, ст.151;

Задание 3: Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 445, ст.152;