На этом уроке мы продолжим изучение арккосинуса и решение типовых уравнений и задач. В начале урока решим нетабличное уравнение и проиллюстрируем решение на числовой окружности и на графике. Далее выведем общую формулу ответа для уравнения cos t = a и рассмотрим некоторые частные случаи решения. Далее мы продолжим решение тригонометрических уравнений, иллюстрируя решения на графике и на круге.
Тема: Тригонометрические уравнения
Урок: Арккосинус и решение уравнения cost=a
1. Тема урока, введение
Мы знаем, что такое арккосинус, и теперь с его помощью сможем решить уравнение 
при всех допустимых значениях 
, т. е. при 
.
2. Пример уравнения вида cost=a
Пример 1. Решить уравнение 
Решение.
значит, уравнение имеет решение. Мы получим бесчисленное множество решений, т. к. функция периодична.
Задана абсцисса точки единичной окружности. Через эту точку проведем перпендикуляр к линии косинусов и получим две точки пересечения с окружностью 
(рис. 1).
Точке 
соответствует множество действительных чисел 
Точке 
соответствует множество 
Проиллюстрируем на графике:
На промежутке 
функция монотонно убывает, и 
достигается только при одном значении аргумента 
Функция 
чётная, её график симметричен относительно оси 
значит, вторая точка имеет абсциссу 
С учетом периода 
Ответ: 
3. Решение уравнения cost=a в общем виде
Решим уравнение 
в общем виде, при 
Решение:
Абсциссу имеют две точки окружности – 
(рис. 3).
Они и только они проектируются на линию косинусов в точку с координатой 
Каждой точке соответствует определенное множество действительных чисел.
Ответ: 
4. Частные случаи уравнения cost=a
Рассмотрим частные случаи тригонометрических уравнений вида 
1. 
Решим с помощью числовой окружности и проиллюстрируем на графике:
А как получить решение с помощью общей формулы?
2. 
3. 
5. Решение уравнений
Пример 2. Решить уравнение и проиллюстрировать решение на числовой окружности и на графике:
a) 
b) 
Решение:
a) 
Отметим точку 
на оси 
. Проведём перпендикуляр, получим две точки пересечения с числовой окружностью: 
(рис. 7).
Проиллюстрируем решение на графике.
На промежутке функция монотонно убывает, значит, на данном промежутке есть только одно решение 
Косинус чётная функция, график симметричен относительно оси 
, значит, точка 
тоже является решением.
Ответ: 
b) 
Абсциссу 
имеют две точки – Им соответствует множество действительных чисел 
Проиллюстрируем решение на графике.
На отрезке функция монотонно убывает и принимает значение только в одной точке 
Косинус – чётная функция, график симметричен относительно оси 
, значит, точка также является решением уравнения.
Ответ: 
Рассмотрим более сложное тригонометрическое уравнение.
Пример 3. Решить уравнение 
Решение:
Осуществим замену переменной, обозначим 
Теперь вернемся к старой переменной:
Ответ: 
6. Вывод, заключение
Мы научились решать уравнения вида при любом допустимом Мы использовали понятие арккосинуса. На следующем уроке мы познакомимся с понятием арксинуса.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.
7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
№№ 22.2 – 22.7.
Дополнительные веб-ресурсы
1. Математика .
2. Интернет-портал Problems. ru .
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам .
