Арккосинус и решение уравнения cos t =a

На этом уроке мы продолжим изучение арккосинуса и решение типовых уравнений и задач. В начале урока решим нетабличное уравнение и проиллюстрируем решение на числовой окружности и на графике. Далее выведем общую формулу ответа для уравнения cos t = a и рассмотрим некоторые частные случаи решения. Далее мы продолжим решение тригонометрических уравнений, иллюстрируя решения на графике и на круге.

Тема: Тригонометрические уравнения

Урок: Арккосинус и решение уравнения cost=a

1. Тема урока, введение

Мы знаем, что такое арккосинус, и теперь с его помощью сможем решить уравнение при всех допустимых значениях , т. е. при .

2. Пример уравнения вида cost=a

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

значит, уравнение имеет решение. Мы получим бесчисленное множество решений, т. к. функция периодична.

Задана абсцисса точки единичной окружности. Через эту точку проведем перпендикуляр к линии косинусов и получим две точки пересечения с окружностью (рис. 1).

Точке соответствует множество действительных чисел

Точке соответствует множество

Проиллюстрируем на графике:

На промежутке функция монотонно убывает, и достигается только при одном значении аргумента Функция чётная, её график симметричен относительно оси значит, вторая точка имеет абсциссу С учетом периода

Ответ:

3. Решение уравнения cost=a в общем виде

Решим уравнение в общем виде, при

Решение:

Абсциссу имеют две точки окружности – (рис. 3).

Они и только они проектируются на линию косинусов в точку с координатой Каждой точке соответствует определенное множество действительных чисел.

Ответ:

4. Частные случаи уравнения cost=a

Рассмотрим частные случаи тригонометрических уравнений вида

1.

Решим с помощью числовой окружности и проиллюстрируем на графике:

А как получить решение с помощью общей формулы?

2.

3.

5. Решение уравнений

Пример 2. Решить уравнение и проиллюстрировать решение на числовой окружности и на графике:

a)

b)

Решение:

a)

Отметим точку на оси . Проведём перпендикуляр, получим две точки пересечения с числовой окружностью: (рис. 7).

       

Проиллюстрируем решение на графике.

На промежутке функция монотонно убывает, значит, на данном промежутке есть только одно решение

Косинус чётная функция, график симметричен относительно оси , значит, точка тоже является решением.

Ответ:

b)

Абсциссу имеют две точки – Им соответствует множество действительных чисел

Проиллюстрируем решение на графике.

На отрезке функция монотонно убывает и принимает значение только в одной точке

Косинус – чётная функция, график симметричен относительно оси , значит, точка также является решением уравнения.

Ответ:

Рассмотрим более сложное тригонометрическое уравнение.

Пример 3. Решить уравнение

Решение:

Осуществим замену переменной, обозначим

Теперь вернемся к старой переменной:

Ответ:

6. Вывод, заключение

Мы научились решать уравнения вида при любом допустимом Мы использовали понятие арккосинуса. На следующем уроке мы познакомимся с понятием арксинуса.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 22.2 – 22.7.

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика .

2. Интернет-портал Problems. ru .

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам .

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: