Арккосинус и решение уравнения cosx=a (алгебра 8 класс)

На уроке по теме «Арккосинус и решение уравнения cosx=a» рассматривается понятие арккосинуса числа с примерами. Также решается уравнение вида cosx=a.

Тема: Итоговое повторение курса алгебры 10 класса

Урок: Арккосинус и решение уравнения cosx=a

1. Введение. График функции y=cosx, x∈[0;π]

На уроке рассматривается понятие функции арккосинус, как обратной для функции косинус на отрезке .

По теореме о существовании обратной функции прямая функция должна быть непрерывной и монотонной.

Функция не монотонна на всей своей области определения, а на промежутке она непрерывна и монотонна и пробегает все значения из области значений. Значит, существует обратная функция для нее на этом промежутке, она называется арккосинус.

Построим график функции на отрезке (рис. 1) и будем находить значения арккосинусов чисел по этому графику.

Рис. 1.

2. Понятие арккосинуса числа, его определение и свойство

Пример 1. (рис. 1):

Пример 2. (рис. 1):

Определение:

Арккосинусом числа называется такой угол из промежутка , косинус которого равен .

Свойство: для любого числа, выполняется равенство

Пример 3. Найти

Решение:

1-й способ: по графику на рис. 1:

2-й способ: по свойству:

Пример 4. (рис. 1):

3. Некоторые значения арккосинуса на единичной окружности

Построим единичную окружность и отметим на окружности точки , спроектируем на ось абсцисс (рис. 2) и запишем соответствующие значения косинусов.

Рис. 2.

Примеры 5. (рис. 2):

       

4. Решение уравнения cosx=a при |a|≤1

Пример 6. Решить уравнение

Решение: на оси косинусов отложим и проведем перпендикуляр до пересечения с окружностью в точках и (рис. 3).

Рис. 3.

Объединяем эти решения одной формулой:

Ответ:

В общем виде решение уравнения при :

5. Итог урока

На уроке был рассмотрен график функции на промежутке , поскольку на этом промежутке функция монотонна и пробегает все свои значения от до Также было рассмотрено понятие арккосинуса числа и решено уравнения вида , при .

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics. ru .

2. Портал Естественных Наук .

3. Интернет-портал Exponenta. ru .

Сделай дома

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 21.13, 21.17, 21.20(а).