Арккотангенс и решение уравнения ctg x=a

На этом уроке мы познакомимся с понятием арккотангенса. В начале урока рассмотрим график функции у = ctg t на промежутке [0; π] и ее свойства. Далее дадим определение арккотангенса как решение обратной задачи. Рассмотрим нахождение арккотангенса на числовой окружности и линии котангенсов. Далее рассмотрим и докажем важное свойство арккотангенса, проиллюстрируем его на графике и решим несколько примеров. И докажем формулу, связывающую арктангенс и арккотангенс. В конце урока решим несколько примеров на нахождение арккотангенса.

Тема: Тригонометрические уравнения

Урок: Арккотангенс и решение уравнения ctgx=a

1. График функции y=ctgt, понятие арккотангенса

Подробно рассмотрим построение графика функции (рис. 1).

Функция монотонно убывает на промежутке Также на этом промежутке функция принимает все свои значения от до

Обратная задача имеет единственное решение. Задано значение функции – оно достигается при единственном значении аргумента на промежутке .

2. Определение арккотангенса

Арккотангенс числа – это такое число котангенс которого равен

Например:

3. Арккотангенс на числовой окружности

Рассмотрим арккотангенс на тригонометрической окружности (рис. 2).

Пример: Найти по тригонометрической окружности следующие значения: В каких пределах лежит значение

4. Решение задач

Проиллюстрируем важное свойство арккотангенса.

Пусть Арккотангенс равен если аргумент равен Арккотангенс равен когда аргумент равен (рис. 3).

На графике мы видим, что

Например:

Задача 1.

a) Сравнить

Решение:

Проиллюстрируем решение на графике (рис. 4).

Обоснуем ответ. Сравним аргументы: Но функция убывает на промежутке Значит, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции и

Ответ:

b) Оценить число

Решение (рис. 5).

Ответ:

Задача 2. Проверить на конкретных примерах тождество:

       

Решение:

1.

2.

Задача 3. Вычислить

Решение:

Ответ

Задача 4. Вычислить

Решение:

Проиллюстрируем решение на прямоугольном треугольнике.

Дан угол Обозначим противолежащий катет прилежащий катет (рис. 6). По теореме Пифагора гипотенуза равна

Ответ:

Задача 5. Вычислить

Решение:

Ответ: 2.

5. Вывод, заключение

Мы узнали, что такое арккотангенс. На следующем уроке мы решим с его помощью уравнение для любых

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 21.32, 21.36, 21.48 (б, в).

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика .

2. Интернет-портал Problems. ru .

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам .