Арксинус и решение уравнения sin t =a

На этом уроке мы продолжим изучение арксинуса и решение уравнений вида sin t = a. В начале урока решим уравнение с нетабличным значением и рассмотрим решение на числовой окружности и на графике. Далее выведем общую формулу ответа для уравнения sin t = a, рассмотрим различные формы записи ответа и рассмотрим некоторые важные частные случаи решения. В конце урока решим несколько более сложных уравнений.

Тема: Тригонометрические уравнения

Урок: Арксинус и решение уравнения sint=a

1. Тема урока, введение

Мы узнали, что такое арксинус и теперь с его помощью решим уравнение при любом допустимом .

2. Решение задач

Задача 1. Решить уравнение

Решение:

значит, уравнение имеет решения.

Решим с помощью числовой окружности.

На линии синусов отметим точку Проведём перпендикуляр к линии синусов до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности – (рис. 1).

Выпишем множества действительных чисел, соответствующих точкам:

Возможна и иная форма записи:

Проиллюстрируем решение этого же уравнения на графике.

Необходимо построить графики функций и найти абсциссы точек их пересечения (рис. 2).

Ответ:

3. Решение уравнения sint=a в общем виде

Решим уравнение в общем виде.

Решение:

Отметим на линии синусов точку с координатой Проведем перпендикуляр к линии синусов до пересечения с окружностью и получим две точки на окружности – (рис. 3).

Точка соответствует множеству действительных чисел

Точка соответсвует множеству действительных чисел

Используем иную запись ответа

При четном, т. е. получаем формулу (1);

При нечетном, т. е. получаем формулу (2).

Ответ:

4. Частные случаи уравнения sint=a

Рассмотрим частные случаи решения тригонометрического уравнения

a)

b)

c)

       

5. Решение уравнений

Рассмотрим более сложные уравнения.

Задача 2. Решить уравнение

Решение:

Произведём замену переменной:

(не подходит);

Ответ:

Задача 3. Решить уравнение

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

(не подходит).

Теперь решим уравнение (рис. 7).

Либо

Ответ:

6. Вывод, заключение

Мы рассмотрели решение уравнения для любого при этом использовали определение арксинуса.

На следующем уроке мы познакомимся с определением арктангенса.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 22.9 – 22.12.

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика .

2. Интернет-портал Problems. ru .

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам .