Арксинус

На этом уроке мы познакомимся с понятием арксинуса. Рассмотрим подробно функции у = sint на периоде и сформулируем прямую и обратную задачу для этой функции. Дадим определение для арксинуса как ответа для тригонометрического уравнения sint = a. Покажем нахождение арксинуса на числовой окружности. Докажем важное свойство арксинуса – равенство арксинуса от а и от минус а. Далее рассмотрим типовые задачи на вычисление арксинуса и другие задачи с использованием его свойств. А также докажем формулу, связывающую арксинус и арккосинус.

Уважаемые пользователи, на 13 минуте на доске в условии появляется описка. В примере б) вместо -0,8 следует писать -0,6. В ближайшее время видео будет исправлено.

Тема: Тригонометрические уравнения

Урок: Арксинус

1. Тема урока, введение

Мы знаем, что такое арккосинус, и можем решать уравнения вида Познакомимся с понятием арксинус.

2. График функции y=sint, понятие арксинуса

Подробно рассмотрим построение графика функции

Отмечаем на оси x аргументы, кратные Значения функции для этих аргументов являются табличными и хорошо нам известны. Строим график по полученным точкам (рис. 1).

Мы выбрали промежуток т. к. на нем функция принимает все свои значения от до . Также на данном промежутке функция монотонно возрастает. Это значит, что и прямая, и обратная задачи имеют единственное решение.

Задали значение функции – получили единственное значение аргумента из промежутка . Например, значение достигается только при значение достигается только при

3. Определение и свойства арксинуса

Зададим произвольное (рис. 2). Оно достигается при единственном значении аргумента называется арксинусом

Арксинус – это такой угол из заданного отрезка , синус которого равен

Определение: Если то арксинус это такое число из отрезка , синус которого равен

Покажем на графике (рис. 3).

Например:

Нахождение арксинуса – это решение обратной задачи для исходной функции: по значению синуса найти соответствующее значение аргумента. Это можно сделать не только на графике, но и на числовой окружности.

Арксинусы располагаются на дуге (рис. 4).

Рисунок наглядно показывает, что, например:

Отметим важное свойство арксинуса:

Покажем это на числовой окружности. Отметим на оси y числа (рис. 5).

Числу соответствует дуга числу – дуга Эти дуги равны по величине, но противоположны по знаку, значит, их сумма равна нулю.

Например:

4. Решение задач

Рассмотрим типовые вычислительные задачи.

Задача 1. Вычислить:

Решение:

Значения арксинусов можно определять по графику (рис. 1).

Ответ:

Задача 2. Сравнить

Решение:

На отрезке значение 0,9 достигается при единственном значении аргумента, это Значение 0,1 также достигается при единственном значении аргумента, это На отрезке функция монотонно возрастает (рис. 6).

Задача 3. Вычислить:

a)

b)

Решение:

При решении подобных задач используется следующий приём:

1. Арксинус обозначается за

2. Расписывается определение арксинуса.

a)

       

Укажем еще один способ решения той же задачи.

По условию нам дан угол в прямоугольном треугольнике, и его синус равен т. е. гипотенузу можно обозначить противолежащий катет (рис. 7).

Легко найти прилежащий катет, он равен получаем египетский треугольник.

Теперь можем найти косинус угла

Ответ:

b)

Эту задачу также можно решить с помощью прямоугольного треугольника (рис. 8).

Ответ:

5. Свойство арккосинуса и арксинуса, доказательство тождества

Задача 4: Доказать тождество:

Проиллюстрируем тождество на числовой окружности (рис. 9).

На линии косинусов отметим число проведём перпендикуляр до пересечения с окружностью, получим точку В полученном прямоугольном треугольнике катет равен гипотенуза равна 1.

Такое же значение отложим на линии синусов. Проведем перпендикуляр до пересечения с окружностью, получим точку В этом прямоугольном треугольнике катет также равен гипотенуза равна 1.

Из равенства прямоугольных треугольников следует равенство углов:

а значит

Доказательство:

Пусть

Следует доказать:

Определим промежутки, которым принадлежат углы

Оба угла принадлежат промежутку, на котором монотонно убывает, поэтому из равенства косинусов будет следовать равенство аргументов.

Вычислим

Тождество доказано.

6. Вывод, заключение

Мы рассмотрели арксинус и решили некоторые типовые задачи. На следующем уроке мы используем арксинус для решения уравнения

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 21.1 – 21.5, 21.46.

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика .

2. Интернет-портал Problems. ru .

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам .