Представляем вашему вниманию видеоурок по теме «Числовая окружность». Дается определение, что такое синус, косинус, тангенс, котангенс и функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x для любого числового аргумента. Рассматривается стандартные задачи на соответствие между числами и точками в единичной числовой окружности для нахождения каждому числу единственной точки, и, наоборот, на нахождение для каждой точки множество чисел которые ей соответствуют.
Тема: Элементы теории тригонометрических функций
Урок: Числовая окружность
1. Тема урока, введение
Наша ближайшая цель – определить тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс-
2. Числовая окружность
Числовой аргумент можно откладывать на координатной прямой или на окружности.
Такая окружность называется числовой или единичной, т. к. для удобства берут окружность с 
Например, дана точка 
Отметим ее на координатной прямой
и на числовой окружности.
При работе с числовой окружностью условились, что движение против часовой стрелки – положительное направление, по часовой стрелке – отрицательное.
Типовые задачи – нужно определить координаты заданной точки либо, наоборот, найти точку по ее координатам.
Координатная прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками и числами. Например, числу 
соответствует точка А с координатой 
Каждая точка В с координатой 
характеризуется только одним числом – расстоянием от 0 до 
взятым со знаком плюс или минус.
На числовой окружности взаимно-однозначное соответствие работает только в одну сторону.
Например, есть точка В на координатной окружности (рис.2), длина дуги 
равна 1, т. е. эта точка соответствует 1.
=1.
Дана окружность, длина окружности 
Если 
то 
– длина единичной окружности.
Если мы прибавим 
, получим ту же точку В, еще – тоже попадем в т. В, отнимем – тоже т. В.
Рассмотрим точку B: длина дуги 
=1, тогда числа
характеризуют т. В на числовой окружности.
Таким образом, числу 1 соответствует единственная точка числовой окружности – точка В, а точке В соответствует бесчисленное множество точек вида 
.
Для числовой окружности верно следующее:
Если т. М числовой окружности соответствует числу 
то она соответствует и числу вида 
Можно делать сколько угодно полных оборотов вокруг числовой окружности в положительном или отрицательном направлении – точка одна и та же. Поэтому тригонометрические уравнения имеют бесчисленное множество решений.
Например, дана точка D. Каковы числа, которым она соответствует?
Измеряем дугу 
.
множество всех чисел, соответствующих точке D.
3. Основные точки окружности
Рассмотрим основные точки на числовой окружности.
длина всей окружности.
.
Т. е. запись множества координат может быть различной.
4. Примеры
Рассмотрим типовые задачи на числовую окружность.
1. Дано: 
. Найти: точку на числовой окружности.
Выделяем целую часть:
.
Необходимо найти т. 
на числовой окружности. 
, тогда
.
В это множество входит и точка 
.
2. Дано: 
. Найти: точку на числовой окружности.
Необходимо найти т. 
т.
также принадлежит этому множеству.
Решая стандартные задачи на соответствие между числами и точками на числовой окружности, мы выяснили, что можно для каждого числа найти единственную точку, и можно для каждой точки найти множество чисел, которые характеризуются данной точкой.
Пример.
Разделим дугу на три равные части и отметим точки M и N.
Найдем все координаты этих точек.
 |
5. Заключение
Итак, наша цель – определение тригонометрических функций. Для этого нам необходимо научиться задавать аргумент функции. Мы рассмотрели точки единичной окружности и решили две типовые задачи – найти точку на числовой окружности и записать все координаты точки единичной окружности.
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. Открытая математика .
2. РЕШУ ЕГЭ .
3. РЕШУ ЕГЭ .
4. РЕШУ ЕГЭ .
Рекомендованное домашнее задание
Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
№№ 531; 536; 537; 541; 552.
