Числовые и алгебраические выражения в математических моделях и задачах

Числовые, алгебраические выражения играют значительную роль в математическом языке при составлении математических моделей. Поэтому на этом уроке вспомним и выясним, каковы взаимоотношения между числовыми алгебраическими моделями. Разберем две основные типовые задачи и решим примеры по этой теме.

Тема: Математический язык. Математическая модель

Урок: Числовые и алгебраические выражения в математических моделях и задачах

1. Повторение алгебраических выражений

Для того, чтобы получить алгебраическое выражение, необходимо некоторые числа арифметического выражения заменить буквенными переменными. С помощью алгебраического выражения мы можем переводить русский язык в математический и наоборот.

2. Характеристика первой группы задач – вычислительной

Рассмотрим первую группу задач – вычислительную. Если в алгебраическом выражении буквенные переменные принимают конкретные значения из числа допустимых, мы получаем арифметическое выражение, которое надо вычислить.

3. Решение примера 1

Пример 1: найти значение алгебраического выражения при заданных значениях букв.

А)

Здесь присутствуют две буквенные переменные – и , и они могут принимать разные значения. По условию необходимо вычислить, при .

Подставим данные значения в алгебраическое выражение и вычислим его.

Из алгебраического выражения получили снова арифметическое выражение.

Ответ:

Б) вычислить, если .

Вычисляем, подставляя 7 и 1:

Ответ:

4. Характеристика второй группы задач – на нахождение допустимых или недопустимых значений

Вторая группа задач – необходимо найти множество допустимых или недопустимых значений переменных, так как в алгебраическом выражении буквы могут принимать не все значения.

5. Решение примера 2

Пример 2: При каких значениях переменных имеет смысл выражение:

А)

Так как это дробь, знаменатель не должен быть равен нулю. Дробь теряет смысл, и выражение теряет смысл, если: , то есть если . Это недопустимое значение.

При каких значениях переменных имеет смысл выражение?

Ответ: при всех

Б) При каких значениях переменных имеет смысл это выражение?

Так как это дробь, её знаменатель не равен 0.

Данное выражение имеет смысл при всех значениях , кроме 2. При 2 знаменатель равен 0, выражение теряет смысл.

Ответ: при всех

В) При каких значениях переменных имеет смысл это выражение?

Это дробь, значит, знаменатель не равен 0.

Ответ: при всех

Г) При каких значениях переменных имеет смысл это выражение?

При всех значениях, при которых знаменатель .

Ответ: при всех

6. Решение примера 3

Пример 3: Укажите хотя бы одну пару недопустимых значений и для следующего алгебраического выражения:

1)

Данное алгебраическое выражение зависит от двух переменных, так как необходимо указать пару значений и , которые недопустимы.

Недопустимым является , в этом случае знаменатель равен 0.

Например: , - это недопустимые значения.

Ответ:

2)

Недопустимые значения находятся в случае, когда знаменатель равен 0, то есть при .

Например, если

– недопустимые значения.

Действительно, при них мы получаем:

Такого числа не существует.

Ответ:

3)

Недопустимые значения получаются при .

Например,

– недопустимые значения.

Ответ:

4)

Недопустимыми являются все значения, при которых знаменатель равен 0, значит .

Отсюда легко ответить, что если

– то получаем недопустимые значения.

Действительно, при них мы получаем:

Такого числа не существует.

А второй вопрос, если у нас

– эта пара значений допустима или нет?

       

Ответ: сразу «нет», потому что знаменатель будет равен нулю. И числитель будет равен 0. Получим

Такого числа не существует.

Ответ:

Числовые алгебраические выражения – это средства математического языка. С их помощью мы описывали разные ситуации.

7. Типовые задачи

Вспомним, какие здесь существуют типовые задачи: перевод словесной модели в математическую и наоборот. Здесь нам хорошо повторить основные математические правила:

8. Решение примера 4

1. От перемены мест сомножителей произведение не меняется:

2. От перемены мест слагаемых сумма не меняется:

3. Основное свойство дроби: дробь не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число.

4. Источник многочисленных ошибок – деление дробей. Как разделить дробь на число? Многие затрудняются, как дробь разделить на число или число разделить на дробь.

При делении дроби на число n необходимо число n представить в виде дроби и потом использовать правило деления дроби на дробь.

При делении числа n на дробь необходимо помнить, что n – это дробь . И в результате использовать правило деления дроби на дробь.

Эти правила являются частным случаем общего правила деления дробей.

Для того, чтобы разделить дробь на дробь , надо дробь умножить на обратную дробь , т. е. на .

Таким образом, основные математические правила могут быть переведены в математическую модель.

Пример 4: Перевести на математический язык фразу на русском языке: отношение разностей кубов чисел и к их утроенной сумме.

9. Решение текстовой задачи 1

Задача 1: Периметр треугольника равен 44 см. Сторона вдвое меньше стороны и на 4 см меньше стороны . Найти длины всех сторон треугольника.

Первый этап: Переведем задачу на математический язык. Для этого нам поможет треугольник.

Сказано, что сторона вдвое меньше стороны . Обозначаем через . Если , то . Такая связь дана в условиях. Тогда . В условии сказано, что периметр треугольника равен 44 см. Напомним, что такое периметр треугольника – это сумма всех трёх сторон.

Второй этап: работа с математической моделью.

Третий этап: получение ответа.

Значит, сторона см., тогда , а

Ответ: см. , ,

10. Решение текстовой задачи 2

Задача 2: Если к задуманному числу прибавить 7, полученную сумму умножить на 3 и из произведения вычесть 47, получится задуманное число. Найдите его.

Первый этап: Переведем задачу на математический язык.

Пусть (х) – задуманное число. Тогда получим математическую модель:

Второй этап: работа с математической моделью.

Третий этап: получение ответа.

Ответ: 13 – это задуманное число.

11. Решение шуточной задачи-загадки

Задача-загадка: Задумайте число, прибавьте к нему 10. Отнимите половину задуманного числа. Прибавьте 7. Отнимите половину задуманного. Отнимите 2. Ответ 15.

Первый этап: Переведем задачу на математический язык.

Пусть (х) – это задуманное число. Тогда составим математическую модель.

Второй этап: работа с математической моделью.

Значит, от переменной ответ задачи не зависит, так как она сократилась.

Ответ: 15.

12. Подведение итогов

Итак, на данном уроке мы рассмотрели значимость числовых и алгебраических выражений, их формирование и типовые задачи на эту тему. Числовые и алгебраические выражения являются удобным средством для описания реальных ситуаций математическим языком для составления математических моделей.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра 7. 4 издание. М.: Мнемозина. 2001 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьный помощник .

2. Школьный помощник .

3. Портал для всей семьи .

4. ЕГЭ по математике .

Рекомендованное домашнее задание

1. №35, 49 (а), 62, 109, 110. Мордкович А. Г. Алгебра 7. 4 издание. М.: Мнемозина. 2001 г.

2. Найти недопустимые значения выражений:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Найти значение выражения:

а) при .

б) при .

в) при .