Действия со степенями

На этом уроке мы рассмотрим различные действия со степенями: умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями, возведение степени в степень, умножение и деление степеней с одинаковыми показателями. Затем мы решим несколько типичных задач с помощью выведенных правил. В конце урока мы сделаем сводку уже известных нам формул действий со степенями, выпишем основные полученные результаты, что поможет нам в дальнейшем при изучении одночленов.

Напоминание определения степени

Основные определения:

Здесь a – основание степени,

n – показатель степени,

– n-ая степень числа.

Примеры на умножение степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим, какие действия можно делать со степенями. Попробуем умножить степени с одинаковыми основаниями.

Пример 1:

Распишем по определению степени:

Можно заметить, что .

Сформулируем и докажем следующую теорему.

Теорема об умножении степеней с одинаковыми основаниями

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Доказательство теоремы 1.

Дано число а – любое; числа n и k – натуральные. Доказать:

Доказательство основано на определении степени.

То есть .

Теперь рассмотрим примеры на деление степеней с одинаковыми основаниями.

Примеры на деление степеней с одинаковыми основаниями

Пример 2:

Распишем по определению степени:

1.

Заметим, что .

2.

Также можно заметить, что .

Обобщим и докажем замеченное правило.

Теорема о делении степеней с одинаковыми основаниями

Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что n > k, справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Доказательство теоремы 2.

Распишем по определению степени:

Сократим k сомножителей.

То есть для любого а и любых натуральных n и k таких, что n > k.

Рассмотрим примеры на возведение степени в степень.

Примеры на возведение степени в степень

Пример 3:

1.

2.

       

Замечаем правило, .

Теорема о возведении степени в степень

Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

То есть, чтобы возвести степень в степень, показатели нужно перемножить, а основание оставить неизменным.

Применение сформулированных теорем для решения задач на вычисление

Задание 1: Вычислить.

Будем пользоваться теоремами 1, 2, 3.

или быстрее

Применение сформулированных теорем для решения задач на упрощение

Задание 2: Упростить.

Будем пользоваться теоремами 1, 2, 3.

Рассмотрим теперь степени с одинаковыми показателями.

Пример 4:

1.

2.

Сформулируем теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми показателями.

Теорема об умножении и делении степеней с одинаковыми показателями

Теорема 4

Для любых чисел а и b и любого натурального n справедливо равенство:

Теорема 5

Для любого числа а и b () и любого натурального n справедливо равенство:

Сводка полученных результатов

Сводка полученных результатов.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Решение примера на упрощение

Задание 3: Упростить.

Список литературы

Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал Mirurokov. ru Школьный помощник Интернет-портал Testent. ru

Домашнее задание

Упростить.
А) б) Вычислить.
а) б) № 590 стр.162, № 592 стр.163. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков