Деление степеней с одинаковыми основаниями

На этом уроке мы изучим деление степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и теорему об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Далее мы сформулируем теорему о делении степеней с одинаковыми основаниями, решим разъясняющие задачи и докажем теорему в общем случае. Затем мы применим теорему для решения различных задач, а также решим типичные задачи с использованием обеих теорем.

Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Урок: Деление степеней с одинаковыми основаниями

(формула )

1. Напоминание основных определений и теоремы 1

Основные определения:

Здесь a - основание степени,

n - показатель степени,

- n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n иk, таких, что n > k справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

2. Разъясняющие задачи

Разъясняющие задачи

1)

2)

Вывод: частные случаи подтвердили правильность теоремы №2. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k таких, что n > k.

3. Доказательство теоремы 2 двумя способами

Доказательство теоремы 2.

Первый способ.

Воспользуемся теоремой 1. Применим ее для степеней и .

. Разделим обе части на .

Второй способ.

Доказательство основано на определении степени

Сократим k сомножителей.

То есть для любого а и любых натуральных n и k таких, что n > k.

4. Решение примеров на вычисление и упрощение с помощью теоремы 2

Пример 1: Вычислить.

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 2.

а)

б)

Пример 2: Упростить.

       

а)

б)

в)

Пример 3: Решить уравнение.

а)

б)

5. Решение примеров на вычисление на совместное применение теорем 1 и 2

Пример 4: Вычислить:

Для решения следующих примеров будем пользоваться обеими теоремами.

а) =6 или быстрее =6

б) ==81 или быстрее =81

в) == или быстрее

6. Решение примеров на упрощение на совместное применение теорем 1 и 2

Пример 5: Упростить:

а) = или быстрее

б)

в) или быстрее

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. ГДЗ (готовые домашние задания) .

2. Школьный помощник .

3. Testent. ru .

4. Математика-повторение .

Рекомендованное домашнее задание

Вычислить:

а) б)

Упростить:

а) б) в)

Решить уравнение:

а) б)

Вычислить:

а) б) в)

Упростить:

а) б) в)