Функция y=k*x2, ее свойства и график (продолжение 2)

На сегодняшнем уроке мы продолжаем изучать функцию вида , ее свойства и график. Сегодня основное внимание мы посвятим обобщению знаний о подобных функциях, займемся чтением графиков, решением прямой и обратной задачи для функции, нахождением коэффициента по заданным условиям и решением систем уравнений графическим методом.

Тема: Квадратичная функция. Функция

Урок: Функция , ее свойства и график (продолжение 2)

1. Прямая и обратная задачи для функции

На протяжении двух предыдущих уроков мы уже изучили функцию вида , ее свойства и график, рассмотрели отдельные случаи исследования данной функции при . На сегодняшнем уроке мы обобщим полученные знания и натренируем навыки решения различных типовых задач.

Пример 1.Прямая и обратная задачи для функции.Дана функция .

1) Для найдите значение функции.

Решение. Это пример прямой задачи, т. е вычисления значения функции для заданных значений аргумента. Изобразим график функции с отмеченными вспомогательными точками (рис. 1). .

Рис. 1.

Ответ..

2) При каком значении аргумента функция достигает значения: а) ; б) ; в) .

Решение. Это пример обратной задачи, т. е. вычисления значения аргумента, соответствующего данному значению функции. Для ее решения необходимо приравнять функцию к указанным значениям и решить полученные уравнения.

а) ; б) ; в) .

Ответ. а) ; б) ; в) .

2. Задачи на чтение графика функции

Пример 2.На чтение графика функции. Найдите пределы изменения функции на отрезке: а) ; б) .

Решение. Изобразим график указанной функции на рис. 2.

а) Поскольку на участке , который лежит внутри луча , функция возрастает, то пределы изменения значений функции будут соответствовать значениям функции на границах указанного отрезка. . Таким образом, .

б) Аналогично, на участке , который лежит внутри луча , функция убывает, а точка является аргументом, при котором функция принимает наибольшее значение. Т. е. пределы изменения значений функции будут соответствовать значениям функции на границах отрезка. .

Рис. 2.

Ответ. а) .

При решении этой задачи мы пользовались тем, что отрезки, которые мы рассматривали не выходили за пределы монотонности, теперь рассмотрим пример, в котором этим фатом уже пользоваться будет нельзя.

Пример 3. На чтение графика функции. Найдите пределы изменения функции на отрезке: а) ; б) .

Решение. Изобразим график функции на рис. 3.

Рис. 3.

а) Поскольку отрезок лежит на участке монотонного возрастания функции и ее монотонного убывания , и содержит аргумент , при котором функция принимает наибольшее значение, то отдельно вычислим пределы изменения функции на каждом из этих участков и наибольшее значении функции, а затем объединим эти пределы и получим искомый ответ. Имеем: , т. е. пределы изменения значений функции .

б) Аналогично поступаем и с отрезком , который можно разбить на промежутки монотонности и аргумент, при котором функция принимает наибольшее значение: . Найдем значения функции в крайних точках промежутков: , т. е. пределы изменения функции .

Ответ. а); б) .

3. Обратная задача для функции

Пример 4.Обратная задача для функции. Для функции найдите пределы изменения аргумента, если: а) ; б) .

Решение. Изобразим рисунок 4 с необходимыми для решения элементами.

Рис. 4.

а) Для нахождения пределов изменения аргумента необходимо решить обратную задачу для функции и найти, какие значения аргумента соответствуют крайним значениям промежутка изменения функции. . Т. к. мы получили по два значения аргумента на каждое краевое значение функции, то по графику (рис. 4) удобно увидеть, каким образом их собрать в промежутки: с одной стороны функция монотонно возрастает при значениях на участке , с другой – монотонно убывает на участке . Края интервалов выкалывам соответствующие выколотым значениям функции. В результате запишем: .

б) Проделываем аналогичные действия и пользуемся для удобства графиком функции (рис. 4). .

Ответ. а) ; б) .

       

[00:12:2/4. Задача с параметром]

Пример 5. Задача с параметром. Найдите коэффициент в уравнении параболы , зная, что парабола проходит через точки а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. Изобразим рисунок с нанесенными для примера несколькими из указанных точек (рис. 5).

Рис. 5.

а) Подставим значения координат точки в общую формулу для функции указанного типа: . Аналогичным образом поступим и в остальных случаях.

б) .

в) .

г) .

Ответ. а) ; б) ; в) ; г) .

5. Графическое решение уравнений и систем

Пример 6. Графическое решение уравнений и систем. Найдите точки пересечения графиков функций и .

Решение. Изобразим оба графика указанных функций в одной системе координат (рис. 6).

Рис. 6.

Переформулировать задачу можно и следующим образом – решить графически систему уравнений . Поскольку левые части уравнений одинаковы, то мы можем их приравнять и, избавившись от переменной , решить уже уравнение с одной неизвестной . , а т. к. из того, что произведение чисел равно нулю следует, что одно из этих чисел равно нулю, то .

Найдем соответствующие этим значениям значения , подставляя их в любое из уравнений (например, во второе): , т. е. получаем две пары решений ; . Это было аналитическое решение.

Теперь покажем, как задачу можно было решить графически. Для этого используем изображенный нами рисунок двух графиков функций на рисунке 6. На нем видно, что парабола и прямая пересеклись в двух точках с координатами и , которые и являются полученными нами ранее парами решений системы уравнений.

Замечание. Стоит отметить, что графический метод решения хорош только в том случае, когда корни системы уравнений являются целыми и не очень большими числами, иначе при дробных значениях их нельзя будет точно указать из графиков, а при больших значениях проблематично изображение графиков в больших масштабах.

Ответ. ; .

На этом уроке мы обобщили и завершили изучение свойств и построения графиков функций типа . На следующем уроке мы рассмотрим новый тип функции .

Список рекомендованной литературы

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2006 г.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Внеклассный урок .

2. ЕГЭ по математике .

3. Интернет-портал authorSTREAM .

Рекомендованное домашнее задание

1. По графику функции найдите значение функции, соответствующее значению аргумента: а) 0,5; б) 1,5; в) -0,5; г) -1,5.

2. Используя график функции , найдите несколько значений аргумента, при которых значения функции: а) больше 13; б) больше -10; в) больше -3; г) больше -7.

3. Найдите коэффициент в уравнении параболы , зная, что парабола проходит через точку .

4. Найдите точки пересечения графиков функций и .