Исследование функций на монотонность

Данный урок посвящён теме «Исследование функции на монотонность». Вы узнаете, что такое функция. Будет введено понятие о возрастающей и убывающей функции. На примере линейной функции научитесь определять, возрастает функция либо убывает.

Тема: Неравенства

Урок: Исследование функций на монотонность

1. Что такое функция

Понятие функции

Функцией называют закон соответствия , по которому каждому значению ставится в соответствие единственное значение y.

х –это независимая переменная, или аргумент.

у – это зависимая переменная, или функция.

f – это закон.

Например: . Если взять , то . Требование к этому закону: однозначность от . Заданному значению х соответствует только одно значение у.

Рис. 1. График окружности

Рассмотрим графики окружности (рис. 1) и полуокружностей. Являются ли нарисованные графики графиком какой-нибудь функции?

Ответ: график окружности не является, потому что заданному значению аргумента соответствует несколько значений функции.

В графиках полуокружностей заданному значению х соответствует единственное значение у. Этот график является графиком какой-нибудь функции.

2. Монотонно убывающая функция

Рис. 2. Монотонно убывающая функция

Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Рис. 2.

Если , то и ). Чем больше аргумент, тем меньше функция.

Если функция возрастает или убывает, то говорят, что она на данном участке монотонна.

3. Монотонно возрастающая функция

Рис. 3. Монотонно возрастающая функция

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Рис. 3.

Если , то и ).

4. Изучение монотонности линейной функции

Пример №1.

Дано: .

Решение: линейную функцию задают два параметра: k и m. Рассмотрим конкретные примеры: и .

       

m – это ордината точки пересечения оси оу.

х

0

-

у

1

0

Рис. 4.

Построив график этой функции, делаем вывод, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции (Рис. 4). Данная функция возрастает от до

Доказательство:

Дано: х2>х1, где х2 и х1 – любые числа.

Доказать: ;

Решение: ; ; означает, что их разность больше нуля. Найдем эту разность: = = 2(. По условию: х2>х1, Отсюда следует, что. Что и требовалось доказать.

Вывод: На всех областях определения линейная функция возрастает.

Аналогично можно доказать, что на всех областях монотонно убывает.

В общем случае для действует такое правило, что если , то функция является монотонно возрастающей, если , то функция является монотонно убывающей.

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Исследование функции на монотонность». Вы узнали, что такое функция. Было введено понятие о возрастающей и убывающей функции. На примере линейной функции вы научились определять, возрастает функция либо убывает.

Список литературы

Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

ЕГЭ по математике . Интернет-портал Frezzii. narod. ru . Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» . InternetUrok. ru .

Домашнее задание

Определите, какой является функция: при Что такое функция? №534, 535. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков