Квадратичная функция у=k*x^2, ее свойства и график

В данном уроке мы продолжим изучение свойств функции . Однако теперь мы рассмотрим случай с отрицательным коэффициентом . Изучим свойства данной функции, построим графики, изучим возрастание и убывание функции.

Тема: Квадратичная функция. Функция

Урок: Функция , её свойства и график (продолжение 1)

1. График функции y=-x^2

На этом уроке мы продолжим изучение функции , а точнее: случая с отрицательным коэффициентом .Как же влияет отрицательный коэффициент на данную функцию?

Построим графики функций .

Составим таблицу значений, как мы это уже делали для функции .

Как видим, точки графика симметричны точкам графика относительно оси .

Поэтому график получаем из графика , отражая его симметрично относительно оси .

Рис. 1. График функции .

Рис. 2. Графики функций .

2. Построение графика функции y=-f(x) с использованием графика функции y=f(x)

Для лучшего понимания рассмотрим более общий случай.

Пусть у нас есть график функции . Построим с помощью него график функции .

Рис. 3.

Если подставить в первую функцию , то получим: , а если подставим во вторую функцию, то получим: . Получаем точку на графике первой функции и точку . Точки и симметричны относительно оси .

Если вместо подставим , то получим точки и на графиках первой и второй функций соответственно, которые также симметричны относительно оси .

Если же рассмотреть точку, в которой функция равна , то мы получим, что эта точка лежит на оси и принадлежит обоим графикам.

Таким образом, общее правило построения графика функции выглядит так: график функции необходимо отразить симметрично относительно оси .

Итак, мы выяснили значение отрицательного коэффициента.

3. Графический смысл коэффициента k

Рассмотрим теперь коэффициент .

Для этого построим в одной системе координат графики: .

Если подставлять одни и те же значения в обе функции, то увидим, что их значения отличаются в 2 раза. То есть, график функции получается из графика функции растяжением от оси или к оси в 2 раза.

То есть, коэффициент показывает: во сколько раз растягивается или сжимается график функции.

Рис. 4.

4. Общий вид графика функции y=kx^2,k

Изобразим теперь схематически в общем виде график функции: .

Это парабола, расположенная в и четвертях, ветви которой опущены вниз.

Рис. 5.

5. Свойства функции y=kx^2,k

Выделим теперь основные свойства функции :

1. Область определения функции: может быть любым.

       

2. Функция принимает все неположительные значения .

3. Функция равна при : .

4. Функция возрастает при всех отрицательных значениях .

5. Функция убывает при всех положительных значениях .

6. Функция непрерывна.

7. Максимальное (наибольшее) значение функции равно : .

8. Минимального значения функции не существует.

9. График симметричен относительно оси .

6. Промежуток убывания функции y=kx^2,k

Рассмотрим более подробно монотонное убывание и возрастание функции .

Убывание

Рассмотрим функцию: .

Функция убывает, если: . То есть, функция убывает, если чем больше , тем меньше .

Наша функция убывает на промежутке .

Рис. 6.

7. Промежуток возрастания функции y=kx^2,k

Возрастание

Рассмотрим функцию: .

Функция возрастает, если: . То есть, функция возрастает, если чем больше , тем больше .

Наша функция возрастает на промежутке .

Рис. 7.

Теперь мы понимаем: как влияет отрицательный коэффициент на свойства функции .

Чтобы научиться применять полученные знания, решим следующую задачу.

8. Задача на построение графиков функции y=kx^2,k

Задача

Изобразить схематически графики функций:

Решение:

Построим указанные графики. Мы знаем, что коэффициент показывает: во сколько раз сжимается (или растягивается) график относительно оси . Получаем, что для графика функции график функции растягивается в 4 раза от оси . Аналогично: для графика функции график функции сжимается в 4 раза к оси .

Рис. 8.

Итак, мы изучили свойства функции при отрицательных значениях и построили графики соответствующих функций.

На следующем уроке мы подытожим изученные нами свойства функции и научимся решать типовые задачи.

Список рекомендованной литературы

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2006 г.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. внеклассный урок .

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» .

3. Портал для всей семьи .

Рекомендованное домашнее задание

1. Построить графики функций: а), б) .

2. Заполнить пропуски в таблице значений функции :

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков