Квадратные уравнения с параметром

На данном уроке будет рассмотрена тема: «Квадратные уравнения с параметром». Вы рассмотрите общую постановку решения задач с параметром и решите конкретную задачу с параметром двумя способами.

Тема: Неравенства

Урок: Квадратные уравнения с параметром

1. Аналитический способ решения задачи с параметром

Решить задачу с параметром – значит перебрать все значения параметра и для каждого указать ответ. Для квадратных уравнений наличие корней зависит от дискриминанта

Пример №1 – решить уравнение с параметром

Решить уравнение:

I-ый способ.

Считаем, что – величина постоянная, и находим корни уравнения:

. Корни существуют, если . Решаем это линейное неравенство: При этих значениях параметра, то есть когда дискриминант положителен или равен нулю, корни есть. Причем, когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет единственный корень. Когда дискриминант отрицателен – корней нет.

Ответ: 1. при любом решений нет; 2. при уравнение имеет единственное решение: ; 3. при любом значении уравнение имеет два различных корня:

Частные случаи:

Найти значения параметра а, при котором уравнение имеет одно решение.

Ответ: при корни есть, уравнение имеет единственное решение: .

Найти значения параметра а, при котором уравнение не имеет решения.

Ответ: при любом решений нет.

2. Графический способ решения задачи с параметром

Решим пример №1 графически (II способ):

или

Алгоритм:

Рис. 1. График квадратной функции

1. Построим график функции, стоящей в левой части (Рис. 1).

       

2. Корнями этой функции является

3. График этой функции – парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится по формуле: ; . Подставляем . Вершина параболы ().

1. Рассечь построенный график семейством прямых: (Рис. 2).

Рис. 2. Рассечение графика функции семейством прямых

2. Отметить точки пересечения и выписать ответ. По графику очевиден ответ:

а) при любом решений нет

б) при корни есть, уравнение имеет единственное решение:

в) при любом значении уравнение имеет два различных корня:.

Графический метод позволяет решать некоторые частные задачи, например: при каких значениях параметра уравнение имеет два положительных корня. Из графика очевиден ответ: при уравнение имеет два различных положительных корня.

или: при каких значениях параметра уравнение имеет два различных корня разного знака. Из графика очевидно: при уравнение имеет два корня разного знака.

Аналогичные частные задачи можно решать и аналитически, для этого следует воспользоваться теоремой Виета.

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Квадратные уравнения с параметром». Вы рассмотрели общую постановку решения задач с параметром и решили конкретную задачу с параметром двумя способами.

Список литературы

Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

ЕГЭ по математике . Интернет-портал Frezzii. narod. ru . Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» . InternetUrok. ru .

Домашнее задание

Решить уравнение Что значит: решить задачу с параметром? №560, 559. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков