Линейная функция

На данном уроке мы вспомним понятия линейного уравнения с двумя переменными и линейной функции. Мы вспомним основные определения и смысл параметров линейной функции. Кроме того, решим несколько различных типовых задач.

Тема: Повторение курса алгебры 7-го класса

Урок: Линейная функция

1. Определение линейного уравнения, решение опорного примера

На предыдущих уроках мы изучали линейное уравнение с двумя переменными, это уравнение вида , . х и у – переменные, a, b, c – конкретные числа, параметры, коэффициенты. Например,

Мы выяснили, что графиком данного уравнения является прямая. Чтобы ее построить, составляют таблицу. Построим график для нашего примера:

х

0

-2

у

3

0

При составлении таблицы мы выбирали произвольные значения х или у, подставляли в уравнение и находили значение второй переменной.

Для построения графика мы строим две точки по таблице и проводим через них прямую (рис. 1).

На данной прямой много точек, и каждая соответствует паре чисел х и у.

Решением уравнения является такая пара чисел х и у, которая при

Рис. 1

подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство. Если мы возьмем любую точку на прямой и подставим ее координаты в уравнение, мы получим верное числовое равенство: множество точек на данной прямой – это множество решений заданного уравнения.

2. Определение линейной функции, смысл ее параметров, прямая пропорциональность

Наша задача – это показать линейное уравнение в виде линейной функции, для этого нужно выразить у через х:

Поделим уравнение на два:

В общем виде линейная функция выглядит следующим образом:

В линейной функции переменную х называют независимой переменной или аргументом функции; называют зависимой переменной или функцией.

Найдем для линейной функции в общем виде точки пересечения с осями. Для всех точек на оси у характерно то, что их абсцисса – координата х, равна нулю.

, ;

Точка пересечения с осью у: (0, m)

Геометрический смысл параметра m – это ордината точки пересечения графика линейной функции с осью у. Параметр m однозначно задает точку пересечения прямой с осью ординат.

Параметр носит название угловой коэффициент и определяет угол наклона графика к оси абсцисс.

Построим графики двух линейных функций: ,

В первой функции

Во второй функции

Для построения графиков составим таблицы, в которых запишем точки их пересечения с осями координат:

х

0

-3

у

m=3

0

Таблица для первой функции;

х

0

3

у

m=3

0

Таблица для второй функции;

Итак, из построения мы видим, что когда (прямая ) угол между прямой и положительным направлением оси х острый, а когда (прямая ) угол между прямой и положительным направлением оси х тупой.

Кроме того, очевидно, что при положительном функция возрастает, а при отрицательном – убывает.

Важен частный случай линейной функции.

Если , . Данная функция называется прямой пропорциональностью. Она определяется единственным параметром k. Любой график такой функции проходит через начало координат – точку (0; 0).

Рассмотрим типовые задачи: прямая задача – по значению аргумента найти значение функции; обратная задача – при известном значении функции определить значение аргумента, при котором данное значение функции достигается. Рассмотрим пример.

3. Решение типовых задач

Пример 1:

х

0

-0,5

у

1

0

       

Рис. 2

Прямая задача: пусть , найдем у:

Обратная задача: пусть , определим х:

Следующая задача – чтение графика функции. Мы рассматривали пример , здесь х не имеет ограничений. Теперь рассмотрим ту же функцию , но

Определим промежуток значений функции: ; , то есть, когда аргумент задан в интервале , функция изменяется . Сформулируем типовые задачи:

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке;

Наибольшее значение:

Наименьшее значение:

4. Параллельность прямых

Вспомним условие параллельности прямых. Продемонстрируем на примере. Рассмотрим несколько функций:

– прямая пропорциональность;

– линейная функция;

– линейная функция;

Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения .

Составим таблицы для построения графиков:

х

0

1

у

0

2

Таблица для первой функции;

х

0

-0,5

у

1

0

Таблица для второй функции;

х

0

0,5

у

-1

0

Таблица для третьей функции;

Рис. 3

Как мы видим, построенные прямые параллельны, причиной тому является равенство их угловых коэффициентов. Есть теорема, которая гласит: если – график прямой пропорциональности, то график будет ему параллелен, так как коэффициент k определяет угол наклона к оси абсцисс, и этот коэффициент у функций равный.

5. Чтение графиков, определение параметров линейной функции

Пример 2: определить знаки параметров k и m:

Заданы графики функций (рис. 4-7):

Рис. 4

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k – также плюс.

Рис. 5

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k – минус.

Рис. 6

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k – плюс.

Рис. 7

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k – также минус.

6. Выводы по уроку

Вывод: на данном уроке мы рассмотрели понятие линейного уравнения и линейной функции, вспомнили вид графика линейной функции и смысл ее параметров. Мы также решили основные опорные задачи и вспомнили некоторые важные факты.

Список литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал FizMat. by . Портал Естественных Наук .

Домашнее задание

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, №318, ст. 74; Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, №320, ст. 74; Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, №327, ст. 75.