Нахождение области определения и области значений числовой функции

На этом уроке мы подробно рассмотрим нахождение области определения и области значений функции. Вначале вспомним определение функции, ее области определения и области значений и обсудим эти определения. Далее решим ряд задач на их нахождение.

Тема: Числовые функции

Урок: Нахождение области определения и области значений числовой функции

1. Повторение основных определений

Понятие функции одно из важнейших в математике. Именно функции описывают реальную жизнь: полет ракеты или самолета, движение поезда, изменение прибыли предприятия и т. д. Свойства функции связывают воедино, казалось бы, разрозненные методы решения уравнений, неравенств, систем.

Функцией называется закон , по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент .

Множество всех допустимых значений аргумента называется областью определения функции и обозначается .

Область определения функции – важнейшая характеристика функции. Если при задании функции множество не задано, то область определения считается естественной, т. е. совпадающей с областью определения выражения .

Множество всех значений, которые принимает зависимая переменная, называют областью значений функции и обозначается .

Смысл выражения «область значений функции , , есть множество » состоит в следующем:

1. Любому элементу соответствует единственный элемент ;

2. Любое значение достигается хотя бы при одном значении .

2. Связь между основными характеристиками функции

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Функцию характеризуют область определения, область значений и график.

Опишем связь между этими основными характеристиками функции.

Рис. 1.

– проекция графика функции на ось ОХ является областью определения функции. ,

Любая вертикальная прямая , , пересекает график функции только в одной точке. Это следует из определения функции.

Рис. 1. Геометрический смысл области определения функции.

Рис. 2.

– проекция графика функции на ось ОY является областью значений функции.

.

Горизонтальная прямая , , пересекает график функции хотя бы в одной точке. Значение функции достигается при .

3. Обсуждение определения функции

По определению функции должно выполняться условие единственности: каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент .

Почему выдвигается такое требование? Поясним это на примере графика пути в школу.

По оси абсцисс задано время, по оси ординат – расстояние . График иллюстрирует путь в школу , пребывание в школе и обратный путь домой . В каждый момент времени t ученик находился на фиксированном расстоянии S от дома (в данный момент времени невозможно одновременно быть на расстоянии 1 км и 3 км от дома). Но на расстоянии от дома ученик был и в момент времени , и в момент времени .

Вывод: каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции и каждому значению функции соответствует хотя бы одно значение аргумента.

Рис. 3. График похода ученика в школу

4. Решение задачи на понимание основных понятий

Задана функция , . Найдите множество всех значений параметра , при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

Из смысла понятий следует, что

1. Если значение функции равно и , то это значение достигается хотя бы при одном значении ;

2. Если значение функции равно и , то это значение не достигается ни при одном значении .

Ответ: .

5. Решение задач на нахождение области определения и области значений функции

1. Дана функция . Найдите область определения и область значений заданной функции.

Решение. Поскольку выражение имеет смысл при всех значениях переменной , то .

Т. к. , то . См. Рис. 4.

Ответ: .

       

Рис. 4. График функции .

1. Дана функция . Найдите множество всех значений параметра ,

при каждом из которых уравнение имеет

а. Хотя бы одно решение;

б. Одно решение;

в. Два различных решения.

Решение.

Задача решается графически (см. Рис. 5) и учитывается условие: .

Ответ:а. или ;

б. ;

в. .

Рис. 5. График функции .

3. Дана функция . Найдите область определения и область значений заданной функции.

Решение. См. Рис. 6.

Рассмотрим функцию . Условие существования квадратного корня: . Следовательно,

.

С другой стороны, , откуда следует, что .

Ответ:

Рис. 6. График функции .

6. Итог урока

На уроке были подробно рассмотрены определения области определения и области значений функции и решены соответствующие задачи.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков, К. И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А. Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А. Г. , Мишутина Т. Н., Тульчинская Е. Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г. И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College. ru по математике .

2. Портал Естественных Наук .

3. Exponenta. ru Образовательный математический сайт .

Рекомендованное домашнее задание

1. № 4, 9, 12 (Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 8.127 (Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).