Общие методы решения уравнений

На данном уроке мы изучим общие методы решения уравнений. Изучим уравнения со сложными функциями нового вида h(f(x))=h(g(x)) с разными аргументами. Рассмотрим общие методы решения таких уравнений, приведем примеры.

1. Уравнения вида h(f(x)) = h (g(x)). Пример 1,2

Рассмотрим уравнения

(1) (2)

– сложная функция. Ее аргументом являются функции. В первом случае равны функции, во втором – аргументы. Если – решение уравнения (2), то будет ли это корнем уравнения (1)? Да, будет, если существует.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 1.

и

Решим уравнение (2):

Проверим, будет ли решение уравнения (1) таким же:

Рассмотрим уравнение (2)

– монотонная функция, поэтому уравнения (1) и (2) равносильны.

И поэтому, решая уравнение (1), мы решаем уравнение (2).

Ответ:

Переобозначим:

Тогда уравнение (1) примет вид:

(3)

Имеем равенство функций.

Уравнение (2) примет вид:

(4)

Имеем равенство аргументов.

Вспомним определение функции.

Определение.

(единственность)

То есть, каждому допустимому аргументу ставится в соответствие единственное значение.

Следовательно, из равенства аргументов следует равенство функций:

Пример 2.

а)

При любом допустимом основании .

б)

Из равенства монотонных функций следует равенство аргументов:

Функция монотонна, а значит, каждое значение функция принимает при единственном значении:

Рис. 1. Значение функции

Можно сделать вывод:

Если функция монотонно убывает или возрастает, то равенство функций и равенство аргументов равносильны:

Вернемся к начальным обозначениям и сформулируем утверждение.

2. Утверждение 1

Каждый корень уравнения (2) такой, что является корнем уравнения (1).

       

Возникает вопрос, всегда ли, решив уравнение (2), мы получим все решения уравнений (1).

3. Утверждение 2

Если монотонна, то . То есть, множество корней совпадает.

Если не монотонна, то . То есть, решив уравнение (2), получим часть решений уравнения (1).

4. Пример 3

Значит, из равенства функций следует равенство аргументов:

Эти уравнения равносильны.

Ответ:

5. Пример 4

Это уравнение вида (1), где

Значит, уравнения равносильны:

Из равенства функций следует равенство аргументов, и наоборот. Мы получили полное множество решений, так как функция монотонна.

Ответ:

Рассмотрим примеры с не монотонными функциями.

6. Пример 5

не монотонна.

– одно из решений, так как решением такого уравнения является .

Ответ:

7. Пример 6

не монотонна

один из корней

Ответ:

Итак, мы рассмотрели решения уравнений вида На следующем уроке мы рассмотрим решения уравнений методом разложения на множители.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Ru. wikipedia. org . Mat.1september. ru . Mathematics. ru .

Домашнее задание

1. Решить уравнения:

а);

б) .

2. Укажите, в каких уравнениях равенство функций и равенство аргументов равносильны, объясните.

a);

б) ;

3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1679, 1680, 1681, 1682..