Определение функции, обратная функция

На уроке по теме «Определение функции, обратная функция» рассматриваются важнейшие понятия в математике – функция и обратная функция. Кроме того, рассматривается метод нахождения функции, обратной данной, и решаются примеры на нахождение обратной функции.

Тема: Итоговое повторение курса алгебры 10 класса

Урок: Определение функции, обратная функция

1. Введение. Повторение понятий функции и обратной функции

На уроке повторяются важнейшие понятия в математике – функция и обратная функция. Кроме того, рассматривается метод нахождения функции, обратной данной, и решаются примеры на нахождение обратной функции.

Вспомним:

одно из обозначений функции, где закон соответствия,

Пример: .

Определение функции: Функцией называется закон , по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент .

область определения, множество значений.

График функции - множество точек координатной плоскости.

Свойство: По определению функции, если , то .

Обратное равенство не всегда справедливо: , но

А для каких функций из равенства следует Для тех функций, у которых каждое значение функции достигается только при одном значении аргумента. А это свойство, в свою очередь, выполняется для монотонных функций.

Например, на отрезке функция монотонно возрастает, т. е. большему значению аргумента из отрезка соответствует большее значение функции из отрезка (рис. 1).

Рис. 1. Возрастающая функция

Для монотонной функции каждое значение из отрезка достигается в единственной точке из (рис. 1).

Если монотонная на отрезке функция, то на этом отрезке каждому значению функции соответствует одно значение аргумента, значит, можно выразить через и существует обратная функция.

Правило нахождения функции, обратной данной:

1) Выразить через : , независимая переменная, зависимая переменная;

2) Поменять местами и и записать функцию в привычных обозначениях: .

Свойство.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

2. Примеры

1. Дано:.

Найти обратную функцию.

Решение: значит, линейная функция возрастает. Т. е. функция непрерывна и монотонна, тогда по теореме о существовании обратной функции, существует обратная для . Применим алгоритм построения обратной функции:

1) выразим через :

2)переобозначим:

обратная функция.

Рис. 2.

На рис. 2 построены графики взаимно обратных функций и , они симметричны относительно прямой .

2. Дано: .

Найти обратную функцию.

Решение: На всей своей области определения данная функция не имеет обратной, поскольку она не монотонна, поэтому рассмотрим промежуток, на котором функция монотонна: , значит, существует обратная. Найдем ее:

       

1) выразим через :

2) переобозначим:

обратная функция.

Построим графики функций (рис. 3) и убедимся, что они симметричны относительно прямой

Рис. 3.

3. Дано: .

Найти обратную функцию.

Решение: функция монотонна на всей области определения, тогда существует обратная функция.

1) выразим через :

2) переобозначим:

– обратная функция.

Рис. 4.

Графики построены на рис. 4, они симметричны относительно прямой

3. Итог урока

На уроке были напомнены понятия функции и обратной функции, рассматривался метод нахождения функции, обратной данной, были решены примеры на нахождение обратной функции с построением графиков взаимно обратных функций.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics. ru .

2. Портал Естественных Наук .

3. Интернет-портал Exponenta. ru .

Сделай дома

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 10.8, 10.9.