Определения и свойства четных и нечетных функций

На этом уроке мы дадим строгие определения четных и нечетных функций, рассмотрим их свойства и решим некоторые задачи. Важным свойством четной функции является симметричность графика функции относительно оси у, важным свойством нечетной функции является симметричность графика относительно точки начала координат. Также на уроке мы выработаем методику исследования функции на четность и нечетность и решим ряд задач.

Тема: Числовые функции

Урок: Определения и свойства четных и нечетных функций

1. Тема урока, введение

В этом уроке будут даны строгие определения четных и нечетных функций, рассмотрены их свойства, решены некоторые задачи.

2. Основные определения

Определение 1: Функция называется четной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство:

Определение 2: Функция называется нечетной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство:

Примеры:

1. четная, т. к.

2. нечетная, т. к.

3. четная,

4. нечетная, .

Дадим развернутое определение четной функции.

Определение 3: Функцию называют четной, если выполнены два условия для всех

1. Область определения симметрична относительно нуля, т. е.

2.

Из определения вытекает важное свойство четной функции:

График четной функции симметричен относительно оси y (Рис. 1).

Дадим развернутое определение нечетной функции.

Определение 4: Функцию называют нечетной, если выполнены два условия для всех

1. Область определения симметрична относительно нуля, т. е.

2.

Из определения нечетной функции вытекает свойство: График нечетной функции симметричен относительно т. (0; 0) (Рис. 2).

Если функция не является ни четной, ни нечетной, то ее называют функцией общего вида.

3. Примеры

Примеры:

Пример 1. Определите вид функции

четная функция, ее график симметричен относительно оси y.

Пример 2. Определите вид функции

В точке функция не существует, а в точке существует. Область определения несимметрична относительно нуля, значит функция общего вида.

Пример 3.Определите вид функции

       

Обе точки выколотые, график и область определения симметричны относительно начала координат, функция четная.

Пример 4. Определите вид функции

рафик и область определения симметричны относительно начала координат, функция нечетная.

Пример 5. Определите вид функции

В точке с абсциссой 2 функция не существует, в точке с абсциссой -2 существует. Область определения несимметрична относительно нуля, это функция общего вида.

Пример 6. Определите вид функции

Область определения симметрична относительно нуля, функция нечетная.

4. Примеры на исследование функции

Рассмотрим примеры на свойства четных и нечетных функций.

Пример 7: Исследовать на четность функцию

Решение:

Первый способ:

,функция четная.

Второй способ:

Возведем в квадрат обе части равенства. Тогда вместо уравнения получим систему:

Второе уравнение полученной системы – уравнение окружности с центром в т.(0; 0) радиусом 4. Но т. к. , графиком уравнения является верхняя полуокружность (Рис. 9).

График симметричен относительно оси y, поэтому функция четная.

Ответ: Функция четная.

Пример 8. Известно, что функция четная и убывает при Определите характер монотонности функции при

Решение:

Нам известно, что функция убывает на луче . Раз она определена на луче и является четной, то она определена и на луче

График четной функции симметричен относительно оси y, т. е. функция возрастает на луче

В качестве примера изобразим график функции (Рис. 10).

Ответ: Функция возрастает при

Пример 9. Дана функция , где