Переход к новому основанию логарифма

В данном уроке мы докажем важную формулу перехода к новому основанию логарифма.

Тема: Показательная и логарифмическая функции

Урок: Переход к новому основанию логарифма

1. Основные теоретические факты

Напомним центральное определение – определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Показательная функция монотонна, каждое положительное значение b она достигает при единственном значении аргумента, то есть при конкретном значении b уравнение имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом b по основанию а:

2. Формула перехода к новому основанию

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Напомним основное логарифмическое тождество.

Выражение (выражение 1) является корнем уравнения (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

Примеры:

при любом а;

при любом а;

Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь :

1. Логарифм произведения:

(произведение может быть положительным, если оба – отрицательные числа, но, исходя из правой части, строго положительны)

2. Логарифм частного:

3. Логарифм степени:

Иногда в задачах не указано, что и – положительные числа, тогда необходимо при раскрытии логарифма ставить модуль:

( – это любые числа кроме нуля, но их произведение должно быть положительным)

Перейдем к основной формуле данного урока.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Применим равносильные преобразования. Поскольку в знаменателе стоит логарифм, а он не может быть равен нулю, т. к. , имеем право домножить обе части на данный логарифм:

Согласно свойству логарифма, внесем сомножитель под знак логарифма как показатель степени:

Применим основное логарифмическое тождество:

Что и требовалось доказать.

3. Решение вычислительной задачи

Пример 1 – вычислить:

Чтобы воспользоваться свойством логарифма, нужно привести заданные логарифмы к одному основанию. Приведем второй логарифм к основанию 2:

       

Получим выражение:

Имеем сумму логарифмов с одинаковым основанием. Применим свойство:

4. Решение уравнения

Пример 2 – решить уравнение:

Очевидно, что необходимо выбрать новое основание и привести к нему все логарифмы, чтобы воспользоваться свойствами и решить уравнение. Выберем основание 2:

В результате преобразований получили уравнение:

Приведем подобные:

Разделим обе части на :

По определению логаримфа:

Итак, мы вывели и рассмотрели новую важную формулу – перехода к новому основанию логарифма. На следующем уроке мы рассмотрим следствия из этой формулы.

Список литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Старая школа .

2. Школьная жизнь .

3. Математика-повторение .

Домашнее задание

1. Вычислить:

2. Вычислить:

а) ;

б)

3. Сравнить числа:

а) и ;

б) и ;

в) и ;

г) и ;