Первообразная

На данном уроке мы узнаем, что такое первообразная, а также рассмотрим таблицу первообразных.

1. Введение

Пример нахождения первообразной

Математические задачи, операции часто различаются как прямые и обратные. Например: сложение и вычитание, умножение и деление. Мы в последнее время занимались дифференцированием, то есть нахождением производных. На этом уроке мы займемся обратной операцией – интегрированием, или нахождением первообразных.

Прямая задача:

Дано: .

Найти:.

Пример:

Обратная задача:

Дано: .

Найти: .

Пример:

– первообразная для .

Строгое определение первообразной функции

Определение:

Функцию называют первообразной для функции на заданном промежутке , если для всех выполняется равенство:

2. Рассмотрение задач на основе определения первообразной функции

Закрепим определение конкретными примерами.

Примеры:

– первообразная для , так как

– первообразная для , так как

– первообразная для , так как

3. Таблица первообразных, проверка и обоснование

Вспомним, что для нахождения производных существовала таблица производных. Точно так же, для нахождения первообразных, имеется таблица первообразных, часть которой представлена далее (Табл. 1):

Функция

Первообразная

1

0

1

2

1

3

4

5

Табл. 1. Таблица первообразных

Проверим рассмотренную часть таблицы, то есть проверим определение:

1.

2.

3.

4.

5.

Таким образом, эта часть таблицы проверена.

Продолжим изучение и обоснование таблицы. Следующая часть таблицы первообразных представлена ниже (Табл. 2):

Функция

Первообразная

6

7

       

8

9

10

Табл. 2. Таблица первообразных (продолжение)

Полезно проверить, обосновать и доказать данную часть таблицы.

6.

7.

8.

9.

10.

Таблица обоснована.

4. Решение примеров и задач на определение первообразной

Теперь мы имеем определение первообразной и таблицу первообразных, обоснованную этим определением. Продолжим решение задач на определение первообразной.

Докажите:

а)

Доказательство:

б)

Доказательство:

Рассмотрим еще одну задачу.

Докажите:

Доказательство:

Напоминание:

1.

2.

Рассмотрим задачу с тангенсом.

Докажите:

Доказательство:

Рассмотрим задачу с косинусом.

Докажите:

Доказательство:

Рассмотрим аналогичную задачу с иррациональным выражением.

Докажите:

Доказательство:

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Yaklass. ru . Bymath. net . Festival.1september. ru .

Домашнее задание

Проверьте, что функция является первообразной для функции на промежутке . Проверьте, что функция является первообразной для функции . Найдите общий вид первообразных для , если: Найдите общий вид первообразных для функции: . Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 984–992

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков