Планиметрические задачи на экстремум

На уроке рассматривается тема «Планиметрические задачи на экстремум». На этом уроке решается несколько типовых планиметрических задач на экстремум.

Тема: Производная

Урок: Планиметрические задачи на экстремум

1. Задача 1 на экстремум

Задача 1.

Дан прямоугольник. Периметр . Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей (см. рис. 1).

Рис. 1. Измерения прямоугольника.

Итак, обозначим стороны прямоугольника через и . Запишем выражение для периметра , отсюда . Надо найти такие стороны, чтобы площадь была самая максимальная.

Решение.

. Выразим и подставим в выражение вместо , чтобы получить функцию одной переменной. Получим . В данном случае необязательно дифференцировать, можно воспользоваться свойством квадратичной функции. В данном случае - квадратичная функция от . Для наглядности построим ее график (см. рис. 2).

Рис. 2. График функции .

Наибольшое значение этой функции находится в вершине параболы.

. Ясно, что стороны должны быть равными . То есть, если нужно при заданном периметре иметь наибольшую площадь, то данный прямоугольник должен быть квадратом со сторонами по .

Можно решить задачу с помощью производной. , отсюда . В данном случае нужно доказать, что эта точка является максимумом или минимумом (см. рис. 3).

Рис. 3. Промежутки знакопостоянства производной и монотонности функции.

Таким образом, точка является точкой максимума.

На самом деле, задачу можно решить двумя путями. Иногда без производной не обойтись, но в данном случае производная не обязательна.

2. Методика решения задач на наибольшее и наименьшее значения

Рассмотрим методику решения на примере задачи №1. Нужно максимизировать площадь. В данном случае функция зависела от двух переменных. Мы нашли связь между этими переменными, а потом выразили одну через другую. Подставив найденное выражение в функцию, получили функцию от одной переменной. Дальше, если действовать с помощью производной, то можно переформулировать задачу: найти наибольшее значение данной функции на отрезке [0;28]. Надо найти значения функции , , , а потом выбрать максимальное значение. Если решать задачу без производной, то можно воспользоваться свойствами квадратичной функции.

Резюме.

Если при заданном периметре прямоугольника надо найти наибольшую площадь, прямоугольник должен быть квадратом.

3. Задача 2 на экстремум

Площадь прямоугольника равна . Какие должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы периметр был минимальным? (см. рис.4).

Рис. 4. Измерения прямоугольника.

Решение.

Введем обозначения, аналогичные в задаче №1, . Запишем функцию , на коэффициент умножать не надо, так как мы ищем наименьшее значение. Эта функция зависит от двух переменных и . Нужно перейти к функции от одной переменной. Для этого выразим и подставим в функцию. Получим . В данном случае тоже можно обойтись без производной, если знать неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим. Рассмотрим решение задачи с помощью производной. Преобразуем функцию . Нужно найти наименьшее значение этой функции. Найдем производную по правилу: .

       

. Приравняем ее к нулю , получим . Выделяем интервалы знакопостоянства производной (см. рис.5).

Рис. 5. Интервалы знакопостоянства производной.

Если на промежутке производная меньше нуля, то функция убывает, а если производная на промежутке больше нуля, то функция возрастает. Значит, - точка минимума. Напомним, если производная равна нулю, то это необходимый признак экстремума. Достаточный признак – производная при переходе через точку – меняет знак.

На промежутке функция в точке имеет некоторое значение. На всем луче наименьшее значение функции в точке .

Периметр прямоугольник наименьший, если =4, соответственно . Итак, вспомним, что требовалось найти. При известной площади найти самый маленький периметр, то есть . Получили функцию двух переменных. Надо выразить одну переменную через другую, чтобы получить функцию одной переменной. Дальше надо найти производную, приравнять к нулю, выяснить, где точка максимума, где точка минимума и найти наименьшее значение функции на всем промежутке. В результате получили решение этой задачи с помощью производной.

Упомянули, что эту задачу можно решить без производной. Для этого вспомним неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел

, равенство достигается в случае, если .

Запишем это неравенство для данной задачи

. Равенство достигается если , отсюда . Значит, при функция достигает своего минимального значения. Поэтому, без производной можно утверждать, что искомые размеры: , .

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics. ru .

2. Портал Естественных Наук .

3. Интернет-портал Exponenta. ru .

Сделай дома

№ 46.45 (б), 46.46, 46. 47 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков