Понятие определённого интеграла, формула Ньютона-Лейбница

На данном уроке мы познакомимся с определенным интегралом, рассмотрим формулу Ньютона-Лейбница.

1. Напоминание о 3 задачах, рассмотренных на предыдущем уроке

Напомним три задачи, рассмотренные на прошлом уроке, которые сводятся к нахождению одной и той же площади криволинейной трапеции.

Рис. 1. Нахождение площади криволинейной трапеции

О площади под кривой

Дано: .

Найти: .

О массе стержня

Дано:

Найти:

О перемещении точки по прямой

Дано:

Найти: .

2. Метод решения

Таким образом, если мы сумеем найти площадь под кривой, площадь криволинейной трапеции, мы решим эти три, а также многие другие задачи.

Рис. 2. Метод решения

Напомним метод решения. Он заключается в следующем:

Разбить отрезок на равных частей:

Сосчитать , то есть площадь подступенчатой ломаной.

Найти:

Прежде чем найти указанный предел, примем важное определение и переобозначение.

Рассмотрим интегральную сумму:

Площадь криволинейной трапеции записывается следующим образом:

3. Определение определенного интеграла

Определение: Определенный интеграл от функции по отрезку – это предел интегральных сумм при .

Обсудим каждый элемент введенного определения:

a, b – пределы интегрирования.

площадь криволинейной трапеции подынтегральной функции в пределах от до .

4. Решение задач через определенный интеграл, физический и геометрический смысл определенного интеграла

Выпишем решение трех задач через определенный интеграл.

(геометрический смысл определенного интеграла).

Масса неоднородного стержня, .

Перемещение точки вдоль прямой, если известна скорость, (геометрический и физический смысл определенного интеграла).

       

Для того чтобы вычислить определенный интеграл, а с ней и площадь криволинейной трапеции, для начала рассмотрим теорему.

5. Теорема о вычислении определенного интеграла

Теорема: Если – непрерывная и неотрицательная на отрезке функция, а – ее первообразная на этом отрезке, то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке, то есть:

Обсудим полученную формулу (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

6. Доказательство теоремы

Доказательство: На отрезке зафиксируем и найдем площадь под кривой на отрезке, то есть каждому ставится в соответствие , введена новая функция.

Отсюда площадь криволинейной трапеции равняется приращению любой первообразной на отрезке .

7. Формула Ньютона-Лейбница

– непрерывная на отрезке .

Рис. 4. Непрерывная функция

8. Свойства определенного интеграла

9. Решение примера на определенный интеграл, геометрическая интерпретация

Пример:

Вычислить:

Решение:

.

Пояснение:

Геометрическая интерпретация:


Рис. 5. Площадь криволинейной трапеции

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Mathprofi. ru . Energy. bmstu. ru . Math24.ru .

Домашнее задание

Докажите, что равенство верно: . Вычислите интеграл: Вычислите интеграл: Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1021–1025