Построение графика функции f(x)=x (1+x2), её исследование; сопутствующие задачи

На данном уроке будет рассмотрена тема «Построение графика функции , её исследование; сопутствующие задачи». На этом уроке вы продолжите учиться строить графики функций с помощью производных. Будет рассмотрен конкретный пример построения графика функции .

Построение графика функции f(x)=x (1+x2), её исследование; сопутствующие задачи

Тема: Производная

Урок: Построение графика функции ее исследование; сопутствующие задачи.

1. Повторение

Мы рассмотрели методику построения графика функции с помощью производных, решили некоторые задачи, которые сводятся к чтению графика функции. Таким образом, построение графика функции – одна из важнейших задач. Продолжим строить графики функций и развивать соответствующую методику.

2. Построение графика функции без производной

Построить график функция .

Производная очень мощный инструмент, с помощью которого мы строим график функции, точно находим точки максимума и минимума. Для начала представим, как должна вести себя функция без производной.

Найдем область определения функции: .

Найдем корни (нули) функции : .

Таким образом определи интервалы знакопостоянства. Определим знак функции на каждом интервале.

Рис. 1. Промежутки знакопостоянства функции .

1. Для функции мы выделили интервалы знакопостоянства и нашли знаки функции на каждом интервале (см. рис.1).

2. Легко видеть, что данная функция нечетная, а именно, . График симметричен относительно начала координат.

3. Рассмотрим график функции в окрестности корня. Слева от корня точка будет находится под осью , справа - над осью , значит график функции в окрестности нуля имеет вид (см. рис.2).

Рис. 2. График функции в окрестности корня.

Рассмотрим несколько случаев и посмотрим, как себя может вести график функции в окрестности корня.

2. 3. 4.

Причем в случае 3. Найдено не только поведение функции в окрестности корня, а и экстремум функции, а именно - точка минимума. Аналогично в случае 4. - точка максимума.

Рассмотрим поведение функции при больших значениях . Если , то . В таких случаях используют пределы функций, то есть . Это означает, что если значение очень большое, то функция почти равна нулю. Изобразим это на графике (см. рис.3).

Рис. 3. График функции при .

Но функция непрерывна, это означает, что существует точка , которая является точкой максимума функции (см. рис.4).

Рис. 4. Непрерывность графика функции .

Ранее было показано, что функция нечетная, значит, график симметричен относительно нуля. Таким образом, в точке будет минимум. График будет иметь вид (см. рис.5).

Рис. 5. Схематический график функции .

Теперь легко определить область значений функции.

Рис. 6. Область значений функции .

Это все, что можно сделать для функции используя общепринятую информацию без производной.

А теперь используем производную для построения графика функции .

3. Построение графика функции с помощью производной

Найдем производную:

       

Если вначале основой исследования функции были – интервалы знакопостоянства функции, то теперь – интервалы знакопостоянства производной. Приравняем производную к нулю:

Решая это уравнение, найдем – критические (стационарные) точки для функции . Определим знаки производной методом интервалов (см. рис.6).

Рис. 6. Промежутки знакопостоянства производной.

Нашли интервалы знакопостоянства для производной или интервалы монотонности для функции.

Точка - точка минимума, так при переходе через эту точку функция меняет знак с « - » на « + ». Точка – точка максимума, при переходе через эту точку функция меняет знак с « + » на « - ». Осталось найти значение функции в точке и .

. Так как график функции симметричен, то значение функции в точке равно . График функции построен (см. рис.7).

Рис. 7. График функции .

Ответ:

1. Функция при и при .

2. Функция при .

3. В точке , ; и - точка максимума,

в точке , ; и - точка минимума.

4. Итог урока

Все сопутствующие задачи, которые были рассмотрены ранее, имеют место и в данном случае, причем методика их решения такая же. Решили одну из них, а именно, множество значений функции – .

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics. ru .

2. Портал Естественных Наук .

3. Интернет-портал Exponenta. ru .

Сделай дома

№ 45.1, 45.5 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков