Правила отыскания первообразных

На этом уроке мы вспомним определение первообразной и изучим правила отыскания первообразной.

1. Определение первообразной функции

Определение. Функцию называют первообразной для функции на заданном промежутке , если для всех из выполняется равенство .

2. Методика нахождения первообразной на примерах

Несколько разъясняющих примеров:

– первообразная для

Чтобы это подтвердить, возьмем производную

первообразная для

Итак, мы привели 2 примера, которые подтверждают определение и используют его.

Напомним две задачи:

Прямая задача: Дана функция . Найти . Процесс называется дифференцированием.

Обратная задача: Дана функция – производная неизвестной функции Найти Процесс называется интегрированием.

Какие основные инструменты для нахождения первообразных?

3. Таблица первообразных

Нахождение

- таблице первообразных, которую мы повторим;

- правилам отыскания первообразных, которые мы изучим.

Таблица

Функция

Первообразная

0

1

1

Проверим:

Таким образом проверяются все строчки таблицы. То есть, выполняется соотношение: .

4. Правила отыскания первообразных с подтверждающими примерами

Переходим к правилам отыскания первообразных.

Правило 1.

       

Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Дано:

Доказать:

Доказательство: что и требовалось доказать.

5. Пример 1

Функция состоит из двух функций. Найти первообразную функции:

Пример подтверждает правило 1.

Правило 2. (о постоянном множителе)

Дано:, то есть – первообразная для f, k – const.

Доказать: kF – первообразная для kf.

Доказательство:

Доказательство основывается на определении первообразной и на правиле дифференцирования: . Что и требовалось доказать.

Смысл правила: если мы знаем первообразную для f, то чтобы получить первообразную для kf, нужно первообразную F умножить на k.

Подтверждающий пример:

Правило 3. Если – первообразная для функции, то первообразная для .

Дано:.

Доказать:

, что и требовалось доказать.

6. Пример 2

Если ,то

Проверка: ( ..

Необходимые пояснения: вместо мы имеем скобку (). Как это отражается на нахождении первообразной? Следующим образом: первообразная от но надо разделить на коэффициент при х.

Пример 1.

Найти одну из первообразных для функции

a)

Решение:

a)

Ответ:

Проверка:..

Пример 2.

Найти одну из первообразных для функции

б)

Решение:

б)

Ответ:

Проверка: =

.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Ucheba-legko. ru . Cleverstudents. ru . Matica. org.