Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение (сумма и разность косинусов)

На уроке выводится формула суммы косинусов из формул косинуса суммы и косинуса разности аргументов, решаются примеры на вычисление, упрощение и решение уравнений с применением данных формул. Также выводится формула разности косинусов с помощью формул косинуса суммы и разности аргументов и решается несколько примеров.

Тема: Преобразование тригонометрических выражений

Урок: Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение (сумма и разность косинусов)

1. Введение. Доказательство формулы суммы косинусов

На уроке выводится формула суммы косинусов из формул косинуса суммы и косинуса разности аргументов, решаются примеры на вычисление, упрощение и решение уравнений с применением данных формул. Также выводится формула разности косинусов с помощью формул косинуса суммы и разности аргументов и решается несколько примеров.

Доказать:

Доказательство:

Складывая равенства, получается:

В полученной формуле вводятся обозначения:

Выразим и через и Складывая и вычитая равенства, получается:

Итак,

2. Применение формулы при решении примеров

1. Упростить:

Решение:

Ответ:

2. Вычислить:

Решение:

1)

=

2)

Ответ: 1.

3. Применение формулы суммы косинусов при решении уравнений

4. Решить уравнение: .

Решение:

.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рисунки 1 и 2 иллюстрируют, что множества решений объединить нельзя.

Ответ:.

4. Решение уравнений вида cosαx+cosβx=0, где α≠±β

Решение:

Ответ:

5. Доказательство формулы разности косинусов

Доказать:

       

Доказательство:

Вычитая равенства, получаем:

В полученной формуле введем удобные обозначения, а именно:

Выразим и через и Складывая и вычитая равенства, получаем

Итак,

6. Применение формулы разности косинусов при решении примеров

5. Вычислить:

Решение:

1)

2)

Ответ: -1.

7. Решение уравнений вида cosαx-cosβx=0, где α≠±β

Решение:

Выразив , получается ответ.

Ответ:

8. Итог урока

1)

2)

и при

имеют решения:

На уроке выводились и использовались формулы, по которым сумма и разность косинусов преобразуется в произведение.

На следующем уроке будут рассмотрены задачи на данную тему.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics. ru .

2. Портал Естественных Наук .

3. Интернет-портал exponenta. ru .

Сделай дома

№№ 22.2(а, в), 22.5(б, в), 22.10(а) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков