Примеры вычисления производных. Функция f(x)=x3. Типовые задачи

На уроке рассматривается тема «Примеры вычисления производных. Функция f(x)=x3. Типовые задачи». На этом занятии будут рассмотрены также практические примеры вычисления производных для конкретной функции f(x)=x3,будет решено ряд типовых задач.

Тема: Производная

Урок: Примеры вычисления производных. Функция f(x)=x^3. Типовые задачи.

1. Краткое повторение темы предыдущего занятия

На предыдущем уроке мы рассмотрели понятие производной и рассмотрели алгоритм нахождения производной. Он предусматривал: дать приращение аргументу, вычислить приращение функции, вычислить отношение , упростить, проанализировать, устремить к нулю и найти производную. Это было в общем виде, а теперь этот алгоритм рассмотрим на примере конкретных функций.

2. Функция f(x)=x^3

Пример 1 Дано:

Найти .

Зафиксируем точку и найдем значение производной от конкретной функции в конкретной точке. Действуем по алгоритму.

1)Вычисляем значение . Иллюстрируем все это графиком.

Кубическая парабола.

Рис. 1. Кубическая парабола.

Зафиксировав точку , вычислим значение функции в этой точке. Получим .

2) Даем аргументу приращение ,получаем - новое значение аргумента.

Примечание. В данном случае приращение положительное. Можно дать приращение отрицательное, тогда функция будет либо увеличиваться, либо уменьшаться. Важно, что –любое.

3) Вычислить значение функции в новой точке , подставив эту точку в функцию.

.

4) Найдем , то есть разность между значением функции в новой точке минус значение функции в старой точке.

.

Имеем две точки: значение аргумента и значение функции в точке , новое значение аргумента и значение функции при новом значении аргумента. Разность этих значений функции дает .

5) Найдем разностное отношение

.

Знаменатель для всех функций один и тот же, - приращение аргумента, а числитель – свой для каждой функции. Получили разностное отношение. Далее надо упростить его, сократить на и сделать дальнейший анализ.

Упрощать в данном случае можно по-разному. Можно применить формулу или куб суммы, или разность кубов. Напомним, что

. В данном случае - это , - это . Имеем

Раскрывая скобки, получили многочлен. Приведем подобные члены. Дальше надо преобразовать так, чтобы сократить. Вынесем за скобки, получим Теперь можно сократить на , ведь , оно не равно нулю. Имеем соотношение следующего вида

. Осталось узнать, что происходит, когда . В данном случае второй член выражения пропадет, и третий член пропадет. Останется , то есть .

Результат

, то есть смысл такой: 3 выносим как сомножитель и показатель уменьшили на единицу.

Итак, зафиксировали точку , нашли производную от конкретной функции в конкретной точке . Точка может быть любая.

Ответ: .

Итак, мы зафиксировали функцию - кубическую параболу. Была задача: найти производную этой функции в конкретной точке . Мы зафиксировали точку и действовали по алгоритму, который был изложен в общем виде, и применен к данной функции. Этот алгоритм можно применять к любой функции, а именно: вычислить значение функции в точке , подставив значение в закон соответствия, то есть в функцию, дать приращение аргумента, найти значение функции при новом значении аргумента и получить приращение функции, то есть разность между значениями функции в новой точке и старой. Далее, надо найти разностное отношение , упростить его так, чтобы вынести за скобку и сократить на . В результате получится выражение, члены которого зависят от и не зависят от него. Если члены, которые зависят от прямо пропорциональны ему, то они при стремятся к нулю, то есть пропадают. Остаются только члены, которые не зависят от . Таким образом получим значение производной.

Для знакомых с пределами .

       

Важно понять, что есть члены с члены и члены без . При этом члены с пропадают, остается то, что называется производной.

Итак, производная от кубической функции в любой точке - это .

3. Типовые задачи

Возьмем конкретный пример.

Дано:

Найти: , то есть конкретное значение функции в точке .

Решение.

1) Найти производную в любой точке . .

2) Найти . .

Физический и геометрический смысл решения задачи.

В момент , если двигаться (уезжать от дома) по закону , скорость равна 12. Если к этой кривой мы проведем касательную в точке , то эта касательная имеет угол наклона (см. рис.2). Так вот . Это говорит о том, что угол довольно большой, так как растет быстро (от дома мы уезжаем довольно быстро). Более того, чем дальше, тем быстрее скорость.

Физический и геометрический смысл решения задачи

Рис. 2. Физический и геометрический смысл решения задачи.

4. Итог урока

Итак, рассмотрено подробное применение общего алгоритма нахождения производной для конкретной функции. Детализировано подробно каждое действие, решили одну из типовых задач, а именно, как находить значение производной функции в конкретной точке. Для этого нужно найти значение функции в произвольной точке, а потом найти значение производной в конкретной точке.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics. ru .

2. Портал Естественных Наук .

3. Интернет-портал Exponenta. ru .

Сделай дома

№ 40.3, 40.9 (а, б) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

Закрепите материал с помощью тренажёров

    Тренажёр 1 Тренажёр 2
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков