Прямая пропорциональность и её график

На данном уроке мы рассмотрим частный случай линейной функции – прямую пропорциональность. Мы рассмотрим ее свойства и основные типовые задачи, связанные с данной функцией.

Тема: Линейная функция

Урок: Прямая пропорциональность и ее график

1. Напоминание теории из предыдущих уроков, формулировка понятия прямой пропорциональности

Напомним, что мы изучаем линейное уравнение относительно двух переменных – х и у, уравнение вида ,

Мы знаем, что графиком данного уравнения является прямая линия, каждая точка которой характеризуется двумя числами – координатами х и у – абсциссой и ординатой, и каждая точка удовлетворяет заданному уравнению.

В одном из уроков мы выражали у через х:

Пользуясь тем, что можем на него разделить обе части уравнения:

Для удобства приняли следующие обозначения: , получаем:

Таким образом, была получена линейная функция у от х в общем виде. Мы ввели некоторые новые обозначения: х называем независимой переменной, или аргументом, у называем зависимой переменной, или функцией. k и m – параметры, которые полностью и однозначно определяют конкретную линейную функцию.

Рассмотрим частный случай линейной функции, когда , в таком случае . Данная функция называется прямой пропорциональностью. Она определяется единственным параметром k. Нам следует изучить влияние данного параметра на график функции прямой пропорциональности и на саму функцию.

2. Решение опорного примера, введение некоторых понятий

Рассмотрим примеры:

Пример 1:

Пусть известно, что турист двигается со скоростью 2км/ч от некоторого пункта А к другому пункту В. В таком случае пройденный им путь будет подчиняться закону:

(1)

Если известно, что пассажир едет на поезде от некоторого пункта А к другому пункту В, а поезд движется со скоростью 60км/ч, то в каждый момент времени можно определить удаление пассажира от начального пункта по формуле:

(2)

В общем виде обе эти формулы можно представить как . Не важно, что подразумевают под собой переменные х и у, важно только, что одна из них независимая, например время, а вторая зависимая, например расстояние.

Вернемся к нашим примерам. В общем виде формулы 1 и 2 можно представить как

Отсюда – это одна из физических интерпретаций углового коэффициента.

Если перейти к формуле прямой пропорциональности, то

3. Решение примеров

Рассмотрим примеры:

Пример 2:

(3) и (4) – обе функции это прямая пропорциональность. Построим графики этих функций, для этого составим таблицы:

х

0

1

у

0

2

Таблица для функции 3;

х

0

1

у

0

-2

Таблица для функции 4;

Угловой коэффициент является аналогом скорости в равномерном прямолинейном движении.

Одна из основных задач – это уметь находить угловой коэффициент в различных выражениях.

Пример 3 – найти угловой коэффициент:

Отсюда очевидно, что

Отсюда очевидно, что

Отметим также, что если , то угол между графиком функции и положительным направлением оси х тупой и функция убывает, а если k>0 – угол острый и функция возрастает, это видно из графика в примере 2. Физический аналог этому такой: если турист ушел из дома и его скорость равна 2км/ч, то в каждый момент времени расстояние от него до дома увеличивается, а если сказать, что расстояние выражается как , это значит, что он возвращается домой и расстояние сокращается.

4. Формулировка свойств данной функции

Сформулируем свойства прямой пропорциональности:

- График любой такой прямой проходит через начало координат, так как в уравнении при независимо от значения у будет равен нулю;

- Рассмотрим несколько функций:

– прямая пропорциональность;

– линейная функция;

– линейная функция;

Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения

Составим таблицы для построения графиков:

х

0

1

у

0

2

Таблица для первой функции;

х

0

-0,5

у

1

0

       

Таблица для второй функции;

х

0

0,5

у

-1

0

Таблица для третьей функции;

Как мы видим, построенные прямые параллельны, причиной тому является равенство их угловых коэффициентов. Есть теорема, которая гласит:

Если – график прямой пропорциональности, то график будет ему параллелен, так как коэффициент k определяет угол наклона к сои х, и этот коэффициент у функций равный.

Пример 3 – построить графики функций:

Сразу отметим, что прямые не будут параллельны, так как их угловые коэффициенты не равны.

Для построения каждого графика нам достаточно выбрать одну точку, так ка вторая уже известна – это точка (0; 0).

Итак, для первого графика возьмем точку (1; 1)

Для второго графика возьмем точку (1; 2)

Для третьего графика (1; -1)

Для четвертого (1; -2)

По графику очень хорошо видно, что прямая пошла круче, чем прямая , угол прямой менее острый, при одинаковых значениях аргумента значение функции больше чем , но в обоих случаях угол тупой и функция возрастает.

Обе прямые и имеют тупой угол наклона, обе функции убывают, но у прямой менее тупой и эта функция убывает быстрее.

5. Решение типовых задач

Пример 4 – определить соотношение между угловыми коэффициентами:

отсюда

Итак, роль углового коэффициента – это скорость роста функции.

Рассмотрим некоторые типовые задачи.

Пример 5:

Построить график прямой пропорциональности, если известно, что ему принадлежит точка с координатами (2; 8)

Для построения прямой нам нужно две точки, первая из них (0; 0), так как все графики прямой пропорциональности проходят через точку (0; 0), а вторая точка задана – это точка (2; 8).

Можно поступить иначе. Из заданной точки (2; 8) мы понимаем, что х=2 и у=4 удовлетворяет нашему уравнению вида , подставим эти значения и найдем k:

, отсюда . Итак, нам задано уравнение , которое мы легко можем построить.

Пример 6:

Построить график прямой пропорциональности и по нему ответить на множество вопросов.

Начнем с построения графика. Первая точка нам известна – для любого графика прямой пропорциональности это точка (0; 0). Для второй точки возьмем , тогда :

По графику требуется определить значение функции при следующих значениях аргумента: , , , ;

Кроме того, по заданному значению функции определить значение аргумента:

, ,

Определить по графику решение неравенств:

и

y<0 при x<0

y>0 при x>0

Пример 7 – найти наибольшее и наименьшее значение функции, если они существуют:

1)Задана функция , причем

2),

Построим график функции :

Для первого случая х меняется в пределах , значит, у меняется в пределах , значит на этом интервале минимум функции равен нулю, а максимум трем.

Для второго случая х меняется в пределах , значит, функция меняется в пределах , значит, минимальное значение функции на этом интервале есть и оно равно трем, а максимального значения функция не достигает.

Последний тип задач – по заданному графику определить угловой коэффициент.

Пример 8 – определить угловой коэффициент:

Задан график прямой пропорциональности.

Мы видим, что график проходит через точку (1; 2), значит пара чисел х=1, у=2 удовлетворяет функции вида , значит, можем подставить значения в уравнение и найти k:

,

Итак, нам задан график функции

6. Выводы по уроку

Вывод: в данном уроке мы рассмотрели частный случай линейной функции – прямую пропорциональность. Мы сформулировали свойства данной функции и основные типовые задачи, связанные с данной темой.

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. ЕГЭ по математике .

2. Старая школа .

3. Портал Естественных Наук .

Рекомендованное домашнее задание

Задание 1: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 299, ст.68;

Задание 2: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 300, ст.68;

Задание 3: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 305, ст.68;

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков