Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений

К изучению предлагается тема «Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений». Для более уверенного решения систем рациональных неравенств и систем уравнений ученикам к рассмотрению предлагается рассмотреть решение систем уравнений. Решением системы является такая пара чисел, при подстановке которых получаем из системы верные равенства. Первое решение систем осуществляется методом подстановки, второе – графическим методом.

Тема: Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

Урок: Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений

1. Введение. Что значит решить систему уравнений?

Решить систему уравнений с двумя неизвестными означает найти такую пару чисел (x0; y0), которая обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство. Рассмотрим метод подстановки и графический метод решения систем уравнений.

2. Решение системы уравнений методом подстановки


Найдем переменную «у» из второго уравнения и подставим в первое.

Заметим, что первое уравнение системы теперь зависит только от переменной х.

x2+(x+4)2=16x2+x2+8x+16=162x2+8x=0

2x ⋅ (x+4)=0x=0 или x=-4

Решим первое уравнение. Раскроем скобки.

Приведем подобные члены.

Получилось неполное квадратное уравнение. Вынесем «2х» за скобки и получим произведение равное 0.

Очевидно, что либо первый множитель «2х» равен 0, либо второй множитель «х+4» равен 0.

Первый этап метода подстановки

- Из какого-нибудь уравнения выразить одну переменную через другую

- Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его


Итак, мы нашли возможные значения для переменной «х». Вернемся к исходной системе уравнений и найдем соответствующие значения для второй переменной «у».

Подставим найденные значения «х».

Итак, путем эквивалентных преобразований исходной системы уравнений мы получили две пары чисел. Это ответ.

Ответ: (0;4) или (-4;0)

Ответ можно записать как два набора из двух чисел. Важно, что в каждой паре на первом месте стоит значение переменной «х», а на втором месте значение переменной «у».

Второй этап метода подстановки

- Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной

- Записать ответ


3. Решение системы уравнений графическим методом

Вспомним.

(x-a)2 + (b-a)2 = R2

Это уравнение окружности с центром в точке О с координатами (a;b) и радиусом R

Чтобы решить систему уравнений графическим методом

- построим график первого уравнения

- построим график второго уравнения

- найдем координаты точек пересечения графиков

Запишем первое уравнение системы x2 + y2 = 16 иначе

(x-0)2 + (y-0)2 = 42



Графиком данного уравнения является окружность с центром в точке с координатами (0;0) и радиусом 4.

Данная окружность – это множество решений первого уравнения. Координаты любой точки окружности обращают уравнение в верное равенство.

Ответ: (0;4) или (-4;0)

Запишем второе уравнение системы y - x = 4 иначе y = 4 + x



Графиком данного уравнения является прямая. Прямая – это множество решений второго уравнения.

Прямую построим на том же графике, что и окружность.

Точки для построения прямой.

х

0

-4

       

у

4

0

Множество решений первого уравнения и множество решений второго уравнения пересекаются в двух точках.

Первое решение (0;4) и второе решение (-4;0).

Запишем ответ.

4. Решение системы уравнений с использованием метода замены переменной

Пусть

Тогда

Рассмотрим первое уравнение системы.

Воспользуемся приемом замены переменной.

Введем новую переменную t.

Перепишем первое уравнение системы

Первое уравнение системы зависит теперь только от переменной t. Решим его, выполняя эквивалентные преобразования.

Перенесем «2,5» из правой части в левую с противоположным знаком. Представим 2,5 как 5/2. Выполним предписанные алгебраические действия. Получим дробь, которая равна 0. Это возможно только, если числитель равен 0, а знаменатель не равен.


Решим квадратное уравнение,

Выполним обратную замену.

Вернемся к решению системы. Вместо первого уравнения запишем полученный результат.

Воспользуемся методом подстановки.

Первая система: Вместо переменной «х» подставим найденное для нее выражение «2у». Вторая система: вместо переменной у подставим «2х».

Первая система:





Вторая система: решением является пустое множество. Это так потому, что ни при каких значениях «х»

Ответ: (2;1) или (-2;-1)

Итак,

Найдем из первой системы соответствующие значения переменной х

Запишем ответ.







Список рекомендованной литературы

1. Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 20102. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 20103. Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 20104. Алгебра, 9 класс. Задачник (Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов) 20085. Алгебра, 9 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова) 20096. Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010

Дополнительные веб-ресурсы

1. Учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для 9 класса. Все учебники, указанные в списке можно посмотреть в режиме онлайн (без скачивания) . 2. Math-portal. ru .

Сделай дома

Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010

Домашнее задание: 5.21; 6.4; 6.5

Другие задания: 6.9 – 6.12