“Рациональные уравнения” – математика, уроки

"Рациональные уравнения"

Цели урока:

    организовать деятельность учащихся по формированию алгоритма решения рациональных уравнений различных видов; содействовать развитию логического мышления при подборе методов решения, проверке полученных корней уравнения, грамотного оформления заданий; подготовить к выпускному экзамену по алгебре за курс основной школы; содействовать умению работать в паре, в группе, самостоятельно.

Ход урока

Организационный момент Актуализация знаний. Освоение новых знаний и способов деятельности. Первичная проверка понимания. Закрепление материала. Итог урока. Домашнее задание. Рефлексия.

Оборудование: компьютерная аппаратура

Организационный момент Сообщение темы и цели урока. Актуализация знаний.

Презентация.

Цель этапа: Актуализировать опорные знания, способы действия, ценностные отношения (слайд 4).

Решению уравнений в школьном курсе математики отводится значительная роль, общие идеи и методы решения рассматриваются, начиная с 7 класса.

Уравнение, левые и правые части которого есть рациональные выражения относительно х, называют рациональным уравнением с неизвестным х.

Корнем уравнения (или решением) с неизвестным х называют число, при подстановке которого в уравнение вместо хполучается верное числовое равенство.

Решить уравнение - значит найти все его корни или показать, что их нет.

При решении рациональных уравнений приходится умножать и делить обе части уравнения на не равное нулю число, переносить члены уравнения из одной части в другую, применять правила сложения и вычитания алгебраических дробей.

В результате будет получаться уравнение, равносильное исходному, т. е. уравнение, имеющее такие же корни, и только их.

1. Уравнение вида: А(х) х В(х) = 0, где А(х) и В(х) - многочлены относительно х, называют распадающим уравнением (слайд 5).

Метод решения: А(х) = 0 и В(х) = 0

Часто встречаются ситуации, когда данное уравнение нужно сначала привести к виду А(х) х В(х) = 0. Поэтому полезно вспомнить приемы разложения на множители.

1) Вынесение общего множителя за скобки.

2) Способ группировки.

3) Использование формул сокращенного умножения.

4) Разложение на множители квадратного трехчлена

аx2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2),

где х1, х2 - корни трехчлена.

Добавляют искусственные методы:

- представление одного из слагаемых в виде суммы;

- прибавление и вычитание одного и того же выражения с целью последующей перегруппировки слагаемых.

2. А(х), В(х) - многочлены относительно х(слайд 6).

Метод решения:

Находим корни А(х)

Проверяют, какие из них обращают в нуль знаменатель В(х) и какие не обращают

Те, которые не обращают знаменатель в нуль и являются корнями уравнения, и других корней уравнение не имеет

3. (слайд 7).

А(х), В(х), С(х), D(х) - многочлены относительно х

Метод решения:

Переносят все члены уравнения в одну сторону

Используют правило вычитания дробей

Решают уравнение А(х)х В(х) - С(х)хD(х)=0

Отбирают корни, которые не обращают знаменатель С(х)·D(х) в нуль.

Метод ведения новых переменных (слайд 8).

Суть метода очень проста: если уравнение f(х) = 0 удалось преобразовать к виду L(g(x))=0, то нужно ввести новую переменную у= g(х), решить уравнение L (y)=0, а затем решить совокупность уравнений:

где y1, y2, : yn - корни уравнения L (y)=0

5. Первичная проверка понимания.

Цель: установить правильность и осознанность изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления материала и провести коррекцию пробелов.

Устные упражнения (слайд 9)

Устное решение уравнений:

1) /решений нет/

2) /-5/

3) /х - любое число, кроме -3/

4) / х - любое число, кроме 3/

5) ax = 1 / если а=0, то решений нет; если а 0, то х= /

6) а·х=0 /если а=0, то х - любое число; если а 0, то х=0/

7) (а2-4)х = 2 / если а=+2, то решений нет; если а +2, то х = /

8) / если а 0, то решений нет; если а=0, то х - любое число, кроме 0/

9) / если а=1, то решений нет; если а 1, то х=1/

10) / если а=4 или 1, то решений нет; если а 4 и а 1 , то х=а/

6. Закрепление материала.

Цель: обеспечить закрепление в памяти учащихся знаний и способов деятельности, которые им необходимы для самостоятельной работы.( слайд 10)

Пример 1. Решить уравнение:

Решение.

1)

х 0

x2 - 3x + 2 =0

x=2, x=1

2)

       

x+ 2 +2x2 -2=0

2х2+х=0

х(2х+1)=0

х=0, х=-0,5

x 1, x -1

Ответ: 2, -0,5.

Если ученик справился быстро, то решает уравнения из карточки "Дополнительные задания".

Осуществляем взаимопроверку, используя лист контроля.

Более подробно остановимся на методе введения новых переменных.

№ 22.01(а) - ученик комментирует решение уравнения с места.

№ 22.02 (б) - работа в паре, проверка осуществляется по листу контроля.

x 1, x -1

Пусть ,

t + - 5 =0

t2 + 6 - 5t=0

t=2, t=3

х+1=2(х-1) х + 1= 3(х -1)

х+1=2х-2 х + 1= 3х -3

х=3 х=2

Ответ: 2; 3.

Пример 2. Решить уравнение (х-2)(х+1)(х+4)(х+7)=63

Решение:

это уравнение вида (х+а)(х+b)(x+c)(x+d)=A(a+d=b+c).

Раскроем скобки, группируя первый множитель с четвертым, а второй с третьим.

(x2 +7х - 2x - 14)( x2 + х +4х + 4) =63

(x2 +5х - 14)( x2 +5х + 4) =63

Введем новую переменную y=x2+5x

Имеем

(y-14)(y+4)=63

y2-10y-119=0

y=17, y=-7

x2+5x=17 x2 +5x=-7

x2 +5х - 17=0 x2 +5х + 7) =0

D=93 D=25-28 0, корней нет

x=

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

7t-2(t2-2)-9=0

7t-2t2+4-9=0 x2-x+1=0 x2-2,5х+1=9

2t2-7t+5=0 D=1-4 0 D=6,25-4=2,25

D=9 корней нет x=2; x=0,5

; t1=2,5 t2=1.

Ответ: 0,5; 2.

Рассмотрим возвратные уравнения.

Возвратными называются алгебраические уравнения четной степени, у которых коэффициенты членов, равноудаленных от концов многочлена, равны при х в четных степенях, равны или отличаются знаками при х в нечетных степенях, например:

ax4+bx3+cx2+bx+a=0

С помощью подстановок или

соответственно, степень уравнения понижается вдвое.

№ 2.50 (а)

2x4+5x3+6x2+5x+2=0; x2 0,

Пусть , тогда

2(y2-2)+5y+6=0

2y2-4+5y+6=0

D=25-16=9

y=-0,5; y=-2

Вернемся к замене.

x2+2x+1=0 x2 +0,5x+1=0

x=-1 D=2,25-4 0 - корней нет.

Ответ: -1.

Далее ученики работают самостоятельно.

№ 22. 05 (а) Один ученик решат данное уравнение с обратной стороны доски. Затем осуществляем самопроверку.

7. Итог урока.

8. Домашнее задание.