Равносильность уравнений (продолжение)

Данный урок посвящен теме «Равносильность уравнений». На нём мы продолжим изучать примеры равносильных, или, как их ещё называют, эквивалентных уравнений и рассмотрим варианты с расширенными областями допустимых значений. Во время занятия мы приведем примеры, когда равносильность нарушается, в том числе искажается область допустимых значений.

1. Типовая ошибка 1. Неверное освобождение от знаменателя. Пример 1

Расширение ОДЗ

К появлению лишних корней ведет расширение области допустимых значений. Но когда же эта область расширяется? Типовые ошибки:

Неверное освобождение от знаменателя.

Продемонстрируем на конкретном примере.

Пример 1.

Решить уравнение

Неверное решение:

Умножить обе части на , получить равенство числителей и решить простейшее уравнение .

«Ответ»:

Почему это решение не верно?

ПО существу мы обе части уравнения умножили на , а, когда , это выражение равно нулю. В этом решении это важное обстоятельство не учтено. Имеем неверный ответ и неверное решение. Приведем верное решение:

Верное решение:

Можно верное решение оформить по-разному. НО главное – учесть ОДЗ.

Рассмотрим исходное уравнение Оно равносильно следующей системе:

Ответ: Решений НЕТ.

Сделаем комментарий к неверному решению и к верному. Неверное решение можно было продолжить и проверить. Окажется, что полученное решение не подходит. В случае когда важна эквивалентность, принципиальной необходимости в проверке нет. Итак, мы получили неверное решение и привели верное решение. Еще раз отметим: освобождение от знаменателя ведет к расширению ОДЗ и является часто ошибкой. Именно первый пример нам показал, что мы получили решение то есть разделили на нуль. Верное решение – это учет ОДЗ.

2. Типовая ошибка 2. Возведения в четную степень. Пример 2

Рассмотрим операцию возведения в четную степень и связанные с этим опасности и типовые ошибки. Сделаем это на примере уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение:

Речь идет о том, можно ли возвести в квадрат и что при этом происходит.

Неверное решение:

«Ответ»:

       

Где здесь ошибка?

Мы расширили ОДЗ. Потому что в уравнении допускались не все а в уравнении допускаются все . Значит, возможно, мы получили посторонние корни. Ясно, что если бы мы проверили корни а это нужно сделать, не подошел бы.

Ошибка в нарушении важной теоремы, которая говорила, что в четную степень обе части уравнения можно возвести и сохранить эквивалентность, если они не отрицательны. А здесь мы это не учли. Например, корень не подойдет. Можно было бы подставить этот корень и увидеть, что корень квадратный не может быть равен . С учетом этого приведем верное решение.

Верное решение:

Используем известную верную схему:

Ответ:

Важная особенность: входит в ОДЗ, но это посторонний корень. И это важная особенность при возведении в квадрат.

3. Типовая ошибка 3. Операция освобождения от логарифма. Пример 3

Обсудим еще один источник возникновения типовых ошибок – операцию освобождения от логарифмов.

Подчеркнем, что тут нет равносильности.

Решить уравнение:

Решение:

Исходное уравнение решено равносильными преобразованиями.

Ответ:

Итак, мы рассмотрели примеры, когда область допустимых значений расширяется, рассмотрели типовые ошибки при этом. На следующем уроке мы рассмотрим случаи, когда ОДЗ сужается, и возможные при этом типовые ошибки.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Fmclass. ru . Uztest. ru . Mathematics. ru .

Домашнее задание

Решить уравнение Решить уравнение: Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1670, 1671, 1672, 1673.