Данный урок посвящен теме «Равносильность уравнений». На нём мы продолжим изучать примеры равносильных, или, как их ещё называют, эквивалентных уравнений и рассмотрим варианты с расширенными областями допустимых значений. Во время занятия мы приведем примеры, когда равносильность нарушается, в том числе искажается область допустимых значений.
1. Типовая ошибка 1. Неверное освобождение от знаменателя. Пример 1
Расширение ОДЗ
К появлению лишних корней ведет расширение области допустимых значений. Но когда же эта область расширяется? Типовые ошибки:
Неверное освобождение от знаменателя.
Продемонстрируем на конкретном примере.
Пример 1.
Решить уравнение 
Неверное решение:
Умножить обе части на 
, получить равенство числителей и решить простейшее уравнение 
.
«Ответ»: 
Почему это решение не верно?
ПО существу мы обе части уравнения умножили на , а, когда , это выражение равно нулю. В этом решении это важное обстоятельство не учтено. Имеем неверный ответ и неверное решение. Приведем верное решение:
Верное решение:
Можно верное решение оформить по-разному. НО главное – учесть ОДЗ.
Рассмотрим исходное уравнение 
Оно равносильно следующей системе:
Ответ: Решений НЕТ.
Сделаем комментарий к неверному решению и к верному. Неверное решение можно было продолжить и проверить. Окажется, что полученное решение не подходит. В случае когда важна эквивалентность, принципиальной необходимости в проверке нет. Итак, мы получили неверное решение и привели верное решение. Еще раз отметим: освобождение от знаменателя ведет к расширению ОДЗ и является часто ошибкой. Именно первый пример нам показал, что мы получили решение 
то есть разделили на нуль. Верное решение – это учет ОДЗ.
2. Типовая ошибка 2. Возведения в четную степень. Пример 2
Рассмотрим операцию возведения в четную степень и связанные с этим опасности и типовые ошибки. Сделаем это на примере уравнения.
Пример 2.
Решить уравнение: 
Речь идет о том, можно ли возвести в квадрат и что при этом происходит.
Неверное решение:
«Ответ»:
Где здесь ошибка?
Мы расширили ОДЗ. Потому что в уравнении 
допускались не все 
а в уравнении 
допускаются все 
. Значит, возможно, мы получили посторонние корни. Ясно, что если бы мы проверили корни 
а это нужно сделать, 
не подошел бы.
Ошибка в нарушении важной теоремы, которая говорила, что в четную степень обе части уравнения можно возвести и сохранить эквивалентность, если они не отрицательны. А здесь мы это не учли. Например, корень не подойдет. Можно было бы подставить этот корень и увидеть, что корень квадратный не может быть равен 
. С учетом этого приведем верное решение.
Верное решение:
Используем известную верную схему:
Ответ: 
Важная особенность: входит в ОДЗ, но это посторонний корень. И это важная особенность при возведении в квадрат.
3. Типовая ошибка 3. Операция освобождения от логарифма. Пример 3
Обсудим еще один источник возникновения типовых ошибок – операцию освобождения от логарифмов.
Подчеркнем, что тут нет равносильности.
Решить уравнение:
Решение:
Исходное уравнение решено равносильными преобразованиями.
Ответ: 
Итак, мы рассмотрели примеры, когда область допустимых значений расширяется, рассмотрели типовые ошибки при этом. На следующем уроке мы рассмотрим случаи, когда ОДЗ сужается, и возможные при этом типовые ошибки.
Список литературы
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Fmclass. ru . Uztest. ru . Mathematics. ru .
Домашнее задание
Решить уравнение 
Решить уравнение: 
Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1670, 1671, 1672, 1673.
