Равносильность уравнений

На этом уроке мы рассмотрим понятие равносильности уравнений и приведем соответствующие примеры.

1. Определение равносильности

Определение 1.

Два уравнения с одной переменной

называются равносильными, если множество их корней совпадает.

Например, если в первом единственный корень , во втором тоже единственный корень , то эти уравнения равносильны.

Это очень важное понятие. В процессе решения мы пытаемся заменить более сложные уравнения более простыми, но равносильными (эквивалентными).

2. Примеры

Пример:

1. ó 2)

Ответ:

Ответ:

Уравнения 1 и 2 называются равносильными.

Рассмотрим важный частный случай. Если первое уравнение не имеет корней и второе уравнение не имеет корней, то данные уравнения мы считаем равносильными. Множество их решений совпадает – это пустое множество.

3. Определение следствия

Определение 2:

Если каждый корень уравнения

Является и корнем уравнения , то уравнение 2 называют следствием из уравнения 1. Обозначают это следующим образом:

Предположим, что первое уравнение имеет корни , второе уравнение имеет корни . Тогда из первого уравнения следует второе.

В чем важность этого определения?

При решении уравнения исходное уравнение заменяется более простым, важно не потерять множество корней исходного уравнения, а ненужные корни можно потом отбросить проверкой.

4. Утверждение

Утверждение:

Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

При практическом решении уравнений важно следить за их эквивалентностью (равносильностью).

Равносильность гарантируют некоторые теоремы.

5. Теорема 1

Теорема 1:

       

Равносильность сохранится, если любой член уравнения перенести в другую часть с противоположным знаком.

6. Теорема 2

Теорема 2:

Имеем уравнение. Можно возвести обе части в нечетную степень, при этом гарантируется сохранение равносильности уравнений.

7. Теорема 3

Теорема 3:

8. Теорема 4

Теорема 4:

Где

При решении уравнений часто приходится возводить в четную степень. Сохранится ли при этом эквивалентность?

9. Теорема 5

Теорема 5:

Если при из ОДЗ, то

10. Теорема 6

Теорема 6:

Мы рассмотрели теорию равносильности уравнений. Эта теория будет использована и на следующем уроке.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Fmclass. ru . Uztest. ru . Mathematics. ru .

Домашнее задание

Решите уравнение . Решите уравнение . Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1666–1669.