Решение неравенств с одной переменной, равносильность неравенств

На данном уроке мы приступим к теме «Решение неравенств с одной переменной. Равносильность неравенств». На занятии мы обсудим важное понятие равносильности неравенств. Рассмотрим процесс решения таких неравенств с одной переменной путём замены более сложного неравенства более простым, но равносильным.

Определение 1. Понятия неравенства

Рассмотрим решение в общем виде: (1).

называется частным решением, если .

Множество всех частных решений есть общее решение (или просто решение) неравенства. Решить неравенство – значит найти его общее решение.

Рассмотрим отличия неравенств от уравнений:

1. Имеет бесконечное множество решений (как правило).

2. Невозможна проверка подстановкой в исходное неравенство.

Поэтому неравенства можно решать только равносильными преобразованиями:

Решение неравенства заключается в замене исходного неравенства более простым, но равносильным неравенством.

Определение 1.

Неравенства (1) и (2) называются равносильными, если их решения совпадают.

Пример 1

Пример 1.

1.

2.

Множества решений совпадают. Значит:

Определение 2. Равносильность неравенств

Определение 2. Если решение неравенства (1) содержится в решении неравенства (2), то неравенство (2) есть следствие неравенства (1).

.

Рассмотрим некоторые из равносильных преобразований:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Рассмотрим примеры, в которых можно допустить типовые ошибки:

Пример 2

1.

       

«Решение»:

«Ответ»: ( – частные решения)

Проблема в умножении на Он мог быть и отрицательным, и положительным. Надо менять знак.

Правило: в неравенствах нельзя умножать на , если его знак не известен.

2.

Решение:

Ответ: (верно)

Правильное решение:

3.

1.

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

2.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2

Ответ:

Мы рассмотрели важное понятие равносильности неравенств. На следующем уроке рассмотрим метод интервалов.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Домашнее задание

Решить неравенства:

а)

б) Решить неравенства:

a) ;

б) ; Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1745, 1746, 1747.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Raal100.narod. ru . Matematika. egepedia. ru .