Синус и косинус. Их свойства и уравнения

Тема данного урока – «Синус и косинус. Их свойства и уравнения». Рассказывается, что такое окружность, синус, что такое косинус и две особенности: каждой точке соответствует бесчисленное множество чисел, но каждое число соответствует единственной точке. Объясняется основное тригонометрическое тождество. Далее даются объяснения свойств синуса и косинуса.

Тема: Элементы теории тригонометрических функций

Урок: Синус и косинус. Их свойства и уравнения

1. Тема урока, введение, повторение

Напоминание:

Числовой аргумент tмы откладываем на единичной окружности, которая помещена в координатную плоскость Каждому числу tсоответствует т. М на единичной окружности (рис.1).

Числовая окружность помещена в координатную плоскость, значит т. М имеет две координаты

Первую координату назвали косинусом числа t, вторую – синусом числа t.

2. Свойства точек числовой окружности

Свойства:

1. Если каждому числу t соответствует только одна точка М, то точке М соответствуют все числа вида: n-количество оборотов в положительном или отрицательном направлении.

;

Соотношение (1) показывает, что период функций синус и косинус равен наименьший положительный период равен

Если задано число , мы получаем только одну точку М. Но если задана точка, ей соответствует не только одно число (длина дуги АМ), но и все числа вида , т. е. чисел, соответствующих точке числовой окружности бесчисленное множество.

2. Если длина дуги единичной окружности равна , то она численно равна ÐАОМ в радианах.

- геометрическая интерпретация.

3. – уравнение единичной окружности.

;

основное тригонометрическое тождество.

3. Свойства синуса и косинуса

Свойства синуса и косинуса.

1.

Проиллюстрируем на числовой окружности.

длина дуги

длина дуги

Абсциссы точек одинаковы, т. е. , а ординаты противоположны, т. е.

2.

Проиллюстрируем на числовой окружности.

       

Пусть т. М соответствует числу тогда отличается от т. М на половину окружности. И абсциссы и ординаты точек противоположны, значит

3.

Это следует из определения: так как мы рассматриваем единичную окружность, то абсциссы и ординаты принадлежащих ей точек находятся в промежутке от до

4. Пример

Пример: Решить уравнение:

Таким образом, по заданной ординате находим все точки единичной окружности, а по точкам находим множество всех действительных чисел, им соответствующих.

Ответ:

Таким образом, мы рассмотрели свойства синуса и косинуса.

Заметили, что

5. Заключение

В заключение отметим, что знаки синуса и косинуса легко установить по определению:

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Открытая математика .

2. РЕШУ ЕГЭ .

3. РЕШУ ЕГЭ .

4. РЕШУ ЕГЭ .

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 577; 579; 583; 584; 592; 594.