Синус и косинус разности аргументов

На уроке изучаются формулы синуса и косинуса разности двух аргументов и их применение для решения задач, выводятся формулы синуса и косинуса разности аргументов из соответствующих формул суммы аргументов. Решаются задачи на вычисление, упрощение и доказательство тождеств с применением этих формул.

Тема: Преобразование тригонометрических выражений

Урок: Синус и косинус разности аргументов

1. Введение. Формулы для синуса и косинуса разности двух аргументов

На уроке изучаются формулы синуса и косинуса разности аргументов и их применение для решения задач, выводятся формулы синуса и косинуса разности аргументов из соответствующих формул суммы аргументов. Решаются задачи на вычисление, упрощение и доказательство тождеств с применением этих формул.

Используя

причем здесь – любые числа; где

получаем:

Теперь аналогично выведем формулу для косинуса разности аргументов:

Итого:

2. Применение формул для синуса и косинуса разности двух аргументов при решении задач на вычисление

1. Вычислить:

Решение:

Ответ: .

2. Вычислить:

Решение:

Ответ: .

3. Задача на доказательство

3. Доказать, что

Доказательство:

Используя , при получаем:

, – проиллюстрировано на рис.1.

Рис. 1.

4. Задачи на применение формулы приведения

4. Упростите выражение:

Решение: используя формулу синуса разности , при

Числатабличные. Иллюстрация дана на единичной окружности (см. рис. 2).

Рис. 2.

Ответ:

5. Упростите выражение:

Решение: используем формулу :

=

Ответ:

5. Вычислительные задачи на применение формул для синуса и косинуса разности двух аргументов

6. Найдите значение выражения:

Вычисление: используем формулу косинуса разности двух аргументов

       

.

Ответ:.

7. Найдите значение выражения:

Вычисление:

, при

Ответ: .

6. Решение уравнения с помощью формулы синуса разности двух аргументов

8. Решить уравнение: .

Решение:

,.

Ответ: .

7. Задача на вычисление

9. Дано:

Вычислить:

Решение: используя , при

По условию число из второй четверти (см. рис. 3), потому его косинус отрицателен.

Рис. 3.

Вычисляя по основному тригонометрическому тождеству с учетом того, что это величина положительная, получаем:

получим:

Ответ:

8. Итог урока

На уроке рассматривались формулы синуса и косинуса разности аргументов, а также их применение для решения некоторых задач.

На следующем уроке будет рассмотрена формула тангенса суммы аргументов.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics. ru .

2. Портал Естественных Наук .

3. Интернет-портал exponenta. ru .

Сделай дома

№№ 19.3(а, б), 19.7, 19.14(б) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)