Система двух линейных уравнений с двумя переменными. Математические модели реальных ситуаций (алгебра 7 класс)

На данном уроке мы будем решать задачи с применением метода математического моделирования. Мы будем составлять системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и решать их. Таким образом, мы закрепим технику решения и научимся применять ее к реальным ситуациям.

Вступление к уроку

Для решения текстовых задач мы будем применять метод математического моделирования. Напомним, что он состоит из трех этапов:

- составление математической модели;

- работа с математической моделью;

- ответ на вопрос задачи;

Решение опорной задачи, напоминание некоторых теоретических положений

Пример 1: расстояние между двумя пристанями на реке – 60 км. Это расстояние катер проходит по течению за 2 часа, а против течения – за 3 часа. Найти собственную скорость катера и скорость течения реки.

1 этап: переведем условие задачи на математический язык. Нам необходимо найти скорость катера и скорость течения реки. Обозначим эти неизвестные величины переменными, пусть скорость катера – это х, а скорость течения реки – это у. В нашей задаче речь идет о движении, а любое движение характеризуется тремя параметрами – это скорость, время и расстояние. Данные три величины взаимозависимы, это значит, что по значению двух из них можно определить значение третьей. Воспользуемся тем, что расстояние равно произведению скорости на время, скорость выразим через обозначенные переменными величины, время выпишем из условия, расстояние вычислим. Составим таблицу:

Скорость движения, V (км/ч)

Время движения, t (ч)

Пройденное расстояние, S (км)

Движение по течению

2

Движение против течения

3

По условию, расстояние между пристанями, то есть путь, пройденный катером, равно 60 км. Составим уравнения и объединим их в систему, мы имеем на это право, так как х и у обозначают одни и те же величины.

Математическая модель составлена.

2 этап: для решения системы сначала упростим исходные уравнения, разделив первое на 2, а второе на 3. После этого применим метод алгебраического сложения.

Выполним сложение уравнений.

Найдем значение х.

Подставим значение х в первое уравнение и найдем у.

Получили решение системы (25; 5).

3 этап: в задаче спрашивалось, какова скорость течения реки и собственная скорость катера. За х была обозначена собственная скорость катера, и она, таким образом, равна 25 км/ч. За у была принята скорость течения реки, она равна 5 км/ч.

Решение примеров

Пример 2: найти два числа, если удвоенная их сумма на 5 больше разности, а утроенная сумма – на 8 больше разности.

Этап 1: обозначим числа переменными, пусть одно из них х, а второе – у. Составим математическую модель. Сумму чисел, исходя из принятых обозначений, запишем как , тогда удвоенная сумма равна . Разность чисел равна . Нам известно соотношение удвоенной суммы и разности. Запишем уравнение.

Утроенную сумму можно записать как . Ее соотношение с разностью чисел также известно, запишем второе уравнение.

Поскольку в обоих уравнениях переменные обозначают одни и те же величины, имеем право объединить их в систему.

Математическая модель составлена.

Этап 2: для решения системы упростим исходные уравнения, преобразуем их и применим метод алгебраического сложения.

Раскроем скобки и приведем подобные члены.

       

Разделим второе уравнение на 2.

Вычтем из первого уравнения второе.

Подставим значение у в первое уравнение и найдем значение х.

Получили решение системы (2; 1).

Этап 3: в задаче нужно было найти два заданных числа, мы обозначили одно из них за х, а второе за у, таким образом, искомые числа – это 2 и 1.

Иногда после решения системы нельзя сразу ответить на вопрос задачи, а нужно сначала еще произвести некоторые действия.

Пример 3: 2 карандаша и 3 тетради стоят 35 рублей, а 3 карандаша и 2 тетради стоят 40 рублей. Определить цену 5 карандашей и 6 тетрадей.

Этап 1: обозначим стоимость одного карандаша за х, а одной тетради за у. Тогда стоимость 2 карандашей равна 2х, а 3 тетрадей – 3у. Суммарную стоимость 2 карандашей и 3 тетрадей возьмем из условия и составим уравнение.

Стоимость 3 карандашей составит 3х, а 2 тетрадей – 2у, суммарная их стоимость известна, составим второе уравнение.

В обоих уравнениях переменные обозначают одни и те же величины. Имеем право объединить их в систему.

Математическая модель составлена.

Этап 2: для решения системы преобразуем исходные уравнения и применим метод алгебраического сложения.

Умножим первое уравнение на три, а второе на два.

Вычтем из первого уравнения второе.

Вычислим значение у.

Подставим полученное значение в первое уравнение и найдем х.

Получили решение системы (10; 5).

Этап 3: в задаче просили найти стоимость 5 карандашей и 6 тетрадей. Мы нашли значения х и у, за х была принята стоимость одного карандаша, таким образом, стоимость пяти карандашей можно вычислить:

рублей.

За у была принята стоимость одной тетради, вычислим стоимость шести тетрадей:

рублей.

Таким образом, суммарная стоимость пяти карандашей и шести тетрадей 50+30=80 рублей.

Выводы по уроку

Вывод: на данном уроке мы вспомнили технику применения метода математического моделирования и решили несколько задач, в которых составили системы двух линейных уравнений с двумя переменными и решили их способом алгебраического сложения.

Список литературы

Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал Mat-modelir. narod. ru . Интернет-портал Nado5.ru . Интернет-портал Nado5.ru .

Домашнее задание

Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 1078, с. 239; Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 1079, с. 239; Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 1081, с. 239.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков