Системы уравнений в текстовых задачах с алгебраическим или геометрическим содержанием

На этом уроке мы продолжим решение текстовых задач на алгебраическую или геометрическую тему методом математического моделирования. Подробно рассмотрим составление математических моделей и три этапа его решения. Решим ряд задач на данную тему.

Тема: Системы уравнений

Урок: Системы уравнений в текстовых задачах с алгебраическим или геометрическим содержанием

1. Тема урока, введение

На этом уроке мы продолжим решение текстовых задач методом математического моделирования. Здесь требуется перевести задачу на математический язык, получить математическую модель – систему уравнений – и решить ее.

2. Задача с алгебраическим содержанием

Задача 1. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.

Решение:

Пусть искомое число, где x – число десятков, y – число единиц.

(Например, ).

Мы записали искомое число с помощью двух неизвестных.

Что нам известно, чтобы найти x и y?

1. сумма квадратов цифр равна 13.

2.

Мы получили математическую модель – систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Далее следует работа с математической моделью, нужно решить систему:

Ответ: 32.

3. Задача на движение

Задача 2. По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 секунд быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 минуту. Определите скорости движения точек.

Решение:

Пусть x м/с, y м/с – искомые скорости точек, и пусть т. е. первая точка движется быстрее, чем вторая, тогда время прохождения одного оборота первой точкой, время прохождения одного оборота второй точкой.

По условию

Упростив это выражение, получим

По условию совпадения происходят через 1 минуту, это значит, что за время 1 мин = 60 с между соседними совпадениями точек первая точка пройдет на один круг – 60 м – больше, чем вторая. Со скоростью сближения м/с расстояние в 60 м будет пройдено за 60 с, т. е.

Мы получили второе уравнение.

Мы получили математическую модель, теперь переходим ко второму этапу – работа с математической моделью.

Необходимо решить систему:

Полученную упрощенную систему решаем методом подстановки.

По теореме Виета

Третий этап: Ответ на вопрос задачи.

       

не подходит, т. к. Значит

Ответ: 4 м/с; 3 м/с.

4. Задача с геометрическим содержанием

Задача 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 м, его периметр равен 48 м. Найдите площадь прямоугольного треугольника.

Решение:

Пусть длины катетов (Рис.2).

Тогда

Мы получили математическую модель. Важно понять, что нам нужно найти не x и y, а Поэтому при решении системы мы постараемся выделить xy.

Выделим во втором уравнении полный квадрат.

нам известно из первого уравнения, подставляем:

Ответ: 96 .

5. Задача с алгебраическим содержанием

Задача 4. Задуманы два натуральных числа, произведение которых равно 720. Если первое число разделить на второе, то в частном получится 3 и в остатке 3. Какие числа задуманы?

Решение:

Пусть x, y – искомые числа. Тогда по условию задачи составим систему:

Ответ: 48 и 15.

6. Вывод, заключение

Мы рассмотрели решение текстовых задач и алгебраического, и геометрического содержания. Еще раз подтвердили, что они сводятся к решению систем уравнений. На следующем уроке мы сделаем обзор по решению систем уравнений.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College. ru по математике .

2. Интернет-проект «Задачи» .

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» .

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 153 – 158.