Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему – сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.

Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.

       

InternetUrok. ru

Алгебра. 8 класс Глава 1. Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями Урок 5. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями Тарасов В. А., учитель школы "Логос ЛВ", ст. преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ 14.06.2010 г. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (алгебра 8 класс) Вычитание дробей и сложение дробей с одинаковыми знаменателями более сложный случай. Напомним правило, оно таково: Знаменатель остаётся, числители, где надо, складываются; где надо, вычитаются. Это правило применяется и для относительно простых дробей, и для сложных дробей. Приведём конкретные примеры. Учебник предлагает такую довольно сложную задачу, нужно сложить и вычесть три дроби. Мы даже не знаем, они одинаковы либо нет. Поэтому прежде всего нужно выяснить, какие множители в знаменателе. Напишем, что первый знаменатель раскладывается на множители. Получается: Первое, что мы сделали – разложили все три знаменателя на множители и видим, что на самом деле знаменатели одинаковые. Применяем правило. Не запутаться с минусом! Он относится ко всему третьему числителю, поэтому пишем (– b – 5). В числителе получаем = Здесь можно сократить и числитель, и знаменатель на a, т. е. воспользоваться основным свойством дроби. И хорошо бы сразу где-то пометить, что это будет справедливо дальше для тех a, которые не равны нулю. И в результате получить окончательный ответ: Итак, исходное выражение, алгебраическую сумму трёх дробей надо было упростить. Мы упростили и получили ответ. Следующий пример: Надо понять, знаменатель у них одинаковый или почти одинаковый? Для этого разложить на множители надо каждый знаменатель. А другие знаменатели противоположны этому. Значит, надо подогнать друг к другу. Во втором выражении минус во второй скобке надо вынести за скобку. И в третьем тоже: Получим: = В числителе мы видим дробь, которую надо попытаться упростить. Надо попытаться трёхчлен, который стоит в числителе, разделить на множители, если это возможно. Вспомним формулу полного квадрата: Есть сами квадраты, есть удвоенное произведение их. В итоге мы имеем полный квадрат. Мы подробно расписали числитель, чтобы увидеть, что у нас есть полный квадрат чисел 3xи 2:

Сокращаем скобки и получаем окончательный результат. Полезно записать, что это справедливо, когда (3x– 2) , т. е. x Потому что мы сократили дробь на это, так что конечная дробь не знает, что x, а исходные дроби знают. Следующая задача: докажите, что данное выражение при всех допустимых значениях переменной принимает положительное значение. Выражение такое: Надо доказать, что эта дробь при всех допустимых значениях xпринимает только положительное значение. А какие из них допустимы? В знаменателе стоит 0 В каком случае это возможно? Когда x Все xдопустимы, кроме одного. И надо доказать, что при всех остальных x вот это огромное выражение принимает только положительное значение. Для этого нужно упростить, т. е. сложить и вычесть дроби. У них один и тот же знаменатель. Не забудем, что во втором числителе минус относится ко всему числителю! = = Мы знаем, что квадрат любого выражения больше или равен нулю: Явная подсказка, что в числителе тоже будет полный квадрат. Легко заметить, что = = == Числитель – величина положительная, знаменатель – тоже, потому что квадрат любого числа либо равен нулю, либо больше нуля. Итак, мы имели исходное выражение, алгебраическую сумму трёх дробей, вычислили и доказали то, что требовалось: что при всех допустимых значениях xвыражение принимает только положительное значение. Таким образом, мы рассмотрели вычитание дробей и сложение дробей с одинаковыми знаменателями в более сложных случаях. А далее эта техника будет использоваться при вычитание дробей и сложение дробей алгебраических с разными знаменателями.