Степенная функция y=x(-2n), ее свойства и график

На этом уроке мы начнем изучать степенную функцию с отрицательным показателем, изучим ее свойства и график.
Вначале рассмотрим функцию у=1/х2, рассмотрим ее график и исследуем ее свойства, сравним их со свойствами функции у=х2. Подробно рассмотрим ее асимптоты и интервалы знакопостоянства. И решим ряд задач на подобные функции, в том числе и задачи с параметром.
Далее сформулируем основные свойства для общего семейства функций вида у=х-2n и рассмотрим их взаимное расположение при различных n. И продолжим решение примеров на данную тему.

Тема: Числовые функции

Урок: Степенная функция её свойства и график

1. Введение

На этом уроке мы начнем рассматривать степенную функцию с отрицательным показателем.

2. График и свойства функции

Сначала мы познакомимся с функцией т. е. с функциями вида:

Рассмотрим график функции

Можно воспользоваться таблицей, а можно проанализировать уже известные нам графики (рис. 1,2).

Изучая графики функций можно себе представить, как будет выглядеть график функции (рис. 3).

Функция четная, поэтому мы можем изучить и изобразить график на луче и симметрично отобразить относительно оси y.

Если x возрастает, то и возрастает, а убывает.

При функция не существует.

Прочтем график.

Если то у возрастает,

Если то у убывает,

1.

2. Функция четная, График симметричен относительно оси y.

3. Функция убывает на луче и возрастает на луче

4. Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

5. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

6. Функция непрерывна на луче и на луче

7.

8. Функция выпукла вниз на луче и на луче

Функция имеет асимптоты, рассмотрим их.

Асимптота – это такая прямая, к которой данная кривая неограниченно приближается.

При

Ось xявляется горизонтальной асимптотой, её уравнение .

При

При

Ось y является вертикальной асимптотой, ее уравнение .

Рассмотрим интервалы знакопостоянства функции (рис. 4).

На луче функция положительна, на луче функция положительна, и только при функция не существует.

Рассмотрим типовые неравенства.

3. Примеры

Свойства функции – ключ к решению многих задач.

1. Найти все значения параметра m, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Решение:

Изобразим график функции , она определена при всех x кроме (рис. 5).

Это значит, что любое значение достигается хотя бы при одном значении аргумента.

Заметим, что если мы задаем то получаем два решения, .

2. Решить уравнение с параметром:

       

Решение:

Необходимо построить график функции пересечь его семейством прямых , найти точки пересечения и выписать ответ (рис. 5а).

Нет решений при

Два различных решения при

Мы подробно рассмотрели график и свойства функции Рассмотрим график и свойства подобных функций в общем виде.

4. График и свойства функции

Функция

Все эти функции проходят через фиксированные характерные точки (-1; 1) и (1; 1) (рис. 6).

Асимптоты: горизонтальная и вертикальная

Свойства функции:

2. Функция четная.

3. Убывает на луче и возрастает на луче

4. Ограничена снизу и не ограничена сверху.

5. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

6. Непрерывна на луче и на луче

8. Выпукла вниз на луче и на луче

Рассмотрим взаимное расположение кривых (рис. 7).

Обе кривые проходят через две фиксированные точки:

5. Примеры

1. Найдите область значений функции:

Решение:

Если , то y убывает,

Ответ:

Кривая сдвинута по оси xна три единицы вправо. Функциямонотонно возрастает при

Ответ:

6. Заключение

Мы рассмотрели функцию На следующем уроке мы познакомимся с функциями вида т. е. с функциями и т. д.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.:ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Открытая математика

2. Задачи

3. Решу ЕГЭ

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 332(а, в), 333(a, г), 335.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков