Свойства числовой последовательности

На этом уроке мы будем рассматривать основные свойства числовой последовательности.

Вначале вспомним определение числовой последовательности и рассмотрим несколько примеров последовательностей. Далее начнем исследование последовательностей на монотонность, убывание и возрастание. И рассмотрим ряд примеров на исследование последовательностей.

Тема: Прогрессии

Урок: Свойства числовой последовательности

1. Повторение

Числовая последовательность является частным случаем функции, а именно, это функция, заданная на множестве натуральных чисел. А если так, то многие свойства функции и свойства последовательности идентичны, в том числе и свойство монотонности.

Определение 1: Последовательность называется возрастающей, если каждый последующий член больше предыдущего, т. е. верно:

Определение 2: Последовательность называется убывающей, если каждый последующий член меньше предыдущего, т. е. верно:

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

2. Примеры монотонных последовательностей, связанных с линейной функцией

1. Рассмотрим последовательность, заданную формулой



Рис. 1. График функции у=3х+2

{5; 8; 11; 13;…}- члены этой последовательности.

Мы можем заметить, что это возрастающая последовательность.

Проиллюстрируем это на графике.

Если бы мы строили график функции у=3х+2, то мы получили бы прямую (см. Рис. 1). Точки на графике соответствуют членам заданной последовательности.

По свойствам линейной функции, если к=3>0, эта функция возрастает. Последовательность – частный случай этой функции. Если эта функция возрастает, то и соответствующая последовательность возрастает.

2. Рассмотрим последовательность, заданную формулой

Рис. 2. График функции y=2-3х

{-1; -4; -7; -10; …}- члены этой последовательности.

Мы можем заметить, что это убывающая последовательность.

Графическая иллюстрация.

Если бы мы строили график функции y=2-3х, то мы получили бы прямую (см. Рис. 2). Точки на графике соответствуют членам заданной последовательности.

По свойствам линейной функции, если к=-3<0, эта функция убывает. Последовательность – частный случай этой функции. Если эта функция убывает, то и соответствующая последовательность убывает.

Сделаем вывод для последовательностей, которые связаны с линейной функцией.

Последовательность является возрастающей при к>0 и убывающей при к<0.

Примеры:

Последовательность - возрастающая, т. к. .

Последовательность - возрастающая, т. к. .

Последовательность - возрастающая, т. к. .

Последовательность - убывающая, т. к. .

Последовательность - убывающая, т. к. .

Последовательность - убывающая, т. к. .

3. Примеры монотонных последовательностей, связанных с функцией

1. Рассмотрим последовательность, заданную формулой .

- члены этой последовательности.

Мы можем заметить, что это убывающая последовательность.

Графическая иллюстрация.

Рис. 3. График функции

Если бы мы строили график функции , то мы получили бы ветвь гиперболы (см. Рис. 3). Точки на графике соответствуют членам заданной последовательности.

Отметим, что свойства функции и свойства последовательности во многом связаны. Функция убывает. Последовательность – частный случай этой функции. Если эта функция убывает, то и соответствующая последовательность убывает.

Отметим еще одно свойство: данная последовательность имеет наибольший член – это 1 и не имеет наименьшего члена.

2. Рассмотрим последовательность, заданную формулой .

- члены этой последовательности.

Мы можем заметить, что это возрастающая последовательность.

Графическая иллюстрация.

Если бы мы строили график функции , то мы получили бы ветвь гиперболы (см. Рис. 4). Точки на графике соответствуют членам заданной последовательности.

Отметим, что свойства функции и свойства последовательности во многом связаны.

Рис. 4. График функции

Функция возрастает. Последовательность – частный случай этой функции. Если эта функция возрастает, то и соответствующая последовательность возрастает.

Отметим еще одно свойство: данная последовательность имеет наименьший член – это -1 и не имеет наибольшего члена.

Вывод для последовательностей, которые связаны с функцией .

Последовательность является возрастающей при к<0 и убывающей при к>0.

Примеры:

Последовательность - убывающая, т. к. .

       

Последовательность - убывающая, т. к. .

Последовательность - убывающая, т. к. .

Последовательность - возрастающая, т. к. .

Последовательность - возрастающая, т. к. .

Последовательность - убывающая, т. к. .

4. Примеры монотонных последовательностей, связанных с квадратичной функцией

1. Рассмотрим последовательность, заданную формулой .

- члены этой последовательности.

Мы можем заметить, что это возрастающая последовательность.

Графическая иллюстрация.

Если бы мы строили график функции , то мы получили бы ветвь параболы (см. Рис. 5). Точки на графике соответствуют членам заданной последовательности.

Рис. 5. График функции

Отметим, что свойства функции и свойства последовательности во многом связаны. Функция возрастает. Последовательность – частный случай этой функции. Если эта функция возрастает, то и соответствующая последовательность возрастает.

2. Рассмотрим последовательность, заданную формулой .

- члены этой последовательности.

Мы можем заметить, что это убывающая последовательность.

Графическая иллюстрация.

Рис. 6. График функции

Если бы мы строили график функции , то мы получили бы ветвь параболы (см. Рис. 6). Точки на графике соответствуют членам заданной последовательности.

Отметим, что свойства функции и свойства последовательности во многом связаны. Функция убывает. Последовательность – частный случай этой функции. Если эта функция убывает, то и соответствующая последовательность убывает.

Сделаем вывод для последовательностей, которые связаны с квадратичной функцией.

Последовательность является возрастающей при к>0 и убывающей при к<0.

Примеры:

Последовательность - возрастающая, т. к. .

Последовательность - возрастающая, т. к. .

Последовательность - возрастающая, т. к. .

Последовательность - убывающая, т. к. .

Последовательность - убывающая, т. к. .

Последовательность - убывающая, т. к. .

5. Пример немонотонной последовательности

Рассмотрим последовательность . Исследуем ее на монотонность.

Вычислим несколько членов последовательности и убедимся, что она то убывает, то возрастает.

Числа - члены заданной последовательности.

Ответ: последовательность немонотонная.

Наглядно это иллюстрируется графиком.

Рис. 7. График функции

Построим график функции (см. Рис. 7). Точки на графике соответствуют членам заданной последовательности.

График наглядно показывает, что эта последовательность немонотонная.

Требуется найти наименьший член этой последовательности. По графику видно, что если х=4 или n=4, то принимает самое наименьшее значение. Это наименьшее значение равно -1.

6. Итог урока

Итак, мы рассмотрели основные свойства числовой последовательности, а именно ее монотонность. На следующем уроке мы перейдем к изучению арифметической прогрессии.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков, К. И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А. Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А. Г. , Мишутина Т. Н., Тульчинская Е. Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г. И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей). – М.: Просвещение, 1983.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College. ru по математике .

2. Интернет-проект «Задачи» .

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» .

Рекомендованное домашнее задание

1. № 334, 336, 337 (Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.5, 12.6 (Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).