Свойства числовых неравенств

Данный урок посвящён теме «Свойства числовых неравенств». В ходе этого занятия вы вспомните определение неравенства. Сможете получить представление об основных свойствах числовых неравенств, которые впоследствии пригодятся для решения задач.

Тема: Неравенства

Урок: Свойства числовых неравенств

1. Что такое неравенство

Что такое числовое неравенство.

Вспомним, что означают неравенства: и :

означает, что и означает, что

Вывод: число считается большим числа b, если разность является положительным числом. Число считается меньше числа b, если разность является отрицательным числом.

Геометрическая интерпретация.

Если точка с координатой находится правее, чем точка с координатой b, значит число . И наоборот. Не всегда очевидна алгебраическая запись, поэтому геометрическая интерпретация часто помогает. С положительными числами это очевидно, а с отрицательными лучше пользоваться расположением этих чисел на числовой оси.

Свойства числовых неравенств.

2. Свойство неравенств №1

Если , то

Доказательство: Поскольку по условию , то разницы и являются положительными числами. Тогда положительной будет и их сумма Имеем: .Таким образом, разница – положительное число, и отсюда следует, что .

3. Свойство неравенств №2

Если и с – любое число, то .

Доказательство:

Рассмотрим разность Имеем: . Поскольку по условию , то разность – положительное число и . Что и требовалось доказать.

4. Свойство неравенств №3

Если и c – положительное число, то . И если и c – отрицательное число, то .

Доказательство:

Рассмотрим разность Имеем:. Поскольку по условию , то разность – положительное число. Если , то произведение – положительное число, и разность положительная, т. е..

Если , то произведение – отрицательное число, и разность отрицательная, т. е.

Пример: , умножим обе части неравенства на 2 и получим , но если обе части неравенства умножить на -2, то знак неравенства поменяется на противоположный: .

5. Действия с неравенствами

Свойство 4.

.Т. е. любые неравенства одного знака можно складывать.

Свойство 5.

Рассмотрим перемножение неравенств.

Если все числа положительные, то их можно перемножить, и получим . Если умножать на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный.

       

Свойство 6.

Рассмотрим возведение в степень неравенств.

и тогда .

6. Пример №1

Даны два положительных числа и . Доказать, что их обратные величины связаны противоположным неравенством:

Решение. Перенесем в одну сторону и выполним необходимые действия.

Так как даны положительные числа и то нужно убедиться, что . Чтобы дробь была отрицательным числом, надо, чтобы знаменатель был отрицательным числом. Умножаем на -1 и получаем .

7. Пример №2

Дано:

а) Оценить число

Решение: Обе части неравенства умножаем на 2. Тогда . Задача решена.

б) Оценить число -3

Решение: будет меняться в пределах . Умножаем неравенство на 3. Получаем ;

в) Oценить разность

Решение: . Неравенства одного знака можно складывать. Получаем:

Ответ:

8. Пример №3

Дано:

Решение: Переносим все в одну сторону.. Приводим к общему знаменателю: Знаменатель по условию , значит и числитель должен быть положительным числом, т. е. . Квадрат числа всегда равен положительному числу, кроме, если а=1. Что и требовалось доказать.

Подведение итога урока.

На данном уроке была рассмотрена тема: «Свойства числовых неравенств». В ходе этого занятия вы вспомнили определение неравенства. Получили представление об основных свойствах числовых неравенств, которые впоследствии пригодятся для решения задач.

Список литературы

Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

ЕГЭ по математике . Интернет-портал Frezzii. narod. ru . Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» .

Домашнее задание

Сравните числа а и b, если: а) ; б) в) Какое из чисел больше х или у, если известно, что: а) ; б) №530, 532. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.