Свойства корня n-й степени. Задачи

На данном уроке мы продолжим изучение свойств корня n-й степени. Мы рассмотрим и докажем две теоремы: об изменении показателей корня и подкоренного выражения и о сравнении корней.

1. Повторение теоретического материала

Напомним основное определение.

Определение:

Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.

Приведем математическую запись определения:

Неотрицательный корень иначе называют арифметическим корнем.

– показатель корня, ;

а – подкоренное выражение;

Например: , т. к. ; , т. к.

Напомним ранее доказанные теоремы – основные свойства корня n-й степени:

, при (теорема 1);

, при (теорема 2);

, при (теорема 3);

, при (теорема 4).

Например:

Сформулируем и докажем некоторые новые свойства корня n-й степени.

2. Теорема об изменении показателя корня, доказательство, примеры

Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одинаковое натуральное число, то значение корня не изменится.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Введем некоторые обозначения:

Воспользуемся определением корня:

Возведем обе части второго уравнения в натуральную степень р:

Вместе с тем , отсюда:

, таким образом, .

Вернемся к исходным обозначениям:

Докажем теорему 5 другим способом.

Согласно определению корня, для выражения , если его правую часть возвести в степень , мы должны получить подкоренное выражение из левой части, то есть :

Проверим, верно ли данное равенство:

Теорема доказана.

4. Решение типовых задач

Рассмотрим примеры на доказанную теорему.

Пример 1:

Несложно заметить, что степени корня и подкоренного выражения имеют общий делитель, на него можно разделить оба показателя, и при этом значение выражения не изменится:

Пример 2 – упростить выражение:

Несложно заметить, что степени корня и подкоренного выражения имеют общий делитель, на него можно разделить оба показателя, и при этом значение выражения не изменится:

Пример 3 – упростить выражение:

Чтобы выполнить упрощение, умножим в первом корне показатели на три, а во втором – на два:

3. Теорема о сравнении корней, доказательство

Для любых чисел а и b таких, что , выполняется неравенство:

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Выполним доказательство от противного. Пусть справедливо неравенство:

       

Имеем право обе части неравенства возвести в одинаковую степень:

Согласно основному тождеству получаем:

, что противоречит условию.

Таким образом, наше предположение неверно, и теорема доказана.

Рассмотрим задачи с использованием новых свойств корня – теоремы 5 и 6.

Пример 4 – сравнить числа:

и

В показателях корней заданных чисел стоят простые числа, их наименьшее общее кратное – это их произведение. Приведем корни к одинаковому показателю:

Итак, имеем два числа:

и , согласно теореме 6 получаем:

Пример 5 – решить неравенство:

Несложно догадаться, что данная задача сводится к тому, чтобы узнать, положительное или отрицательное число стоит в скобках.

Приведем корни к одинаковому показателю:

Согласно теореме 6 , отсюда .

Чтобы произведение двух выражений было неотрицательным, они должны иметь одинаковый знак, отсюда .

Пример 6 – сравните числа и решите неравенство:

и

Приведем корни к одинаковому показателю:

Согласно теореме 6: , отсюда , .

Получив ответ к первой части задачи, мы можем легко дать ответ и на второй вопрос: если дробь неотрицательна и ее числитель отрицателен, то для того чтобы выполнялось заданное неравенство, знаменатель должен быть отрицательным:

Пример 7 – решить уравнение:

Приведем корни к одинаковому показателю:

Обратим внимание на ограничение допустимых значений х: .

Введем замену:

Получаем уравнение:

Получили квадратное уравнение, решаем его любым способом, получаем его корни:

или . Возвращаемся к исходным переменным:

или

Находим корни каждого уравнения:

или

Итак, мы закончили изучение свойств корня n-й степени, в дальнейшем мы будем использовать изученные свойства для преобразования выражений с радикалами.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Terver. ru . Pm298.ru . School. xvatit. com .

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 398–401;

2. Сравните числа:

а) и ; б) и ; в) и ; г) и

3. Преобразуйте заданное выражение к виду :

а) ; б) ; в); г)

school. xvatit. com

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков