Свойства квадратных корней. Решение задач (алгебра 8 класс)
На этом уроке мы систематизируем те знания о квадратных корнях, которые мы получили на предыдущих уроках. Вначале мы вспомним определение квадратного корня, основные свойства корней, а затем закрепим знание теории на решении практических задач с корнями.
Тема: Функция . Свойства квадратного корня
Урок: Свойства квадратных корней. Решение задач
1. Определение и основные свойства квадратного корня
Вначале повторим основную теорию.
Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число
, квадрат которого равен
.
.
Из определения следует тождество при
.
Пример 1. Вычислить значения корней:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Основные свойства квадратного корня:
а)
б) (аналогично верно и для любого количества множителей)
в)
г)
2. Примеры на вычисление квадратных корней с применением их свойств
Пример 2. Вычислите а) ; б)
.
Решение. а) Преобразуем десятичную дробь к виду обыкновенной дроби .
б) Внесем частное корней под один корень и выполним сокращение: .
Ответ. 1,5; 30.
Пример 3. Вычислить .
Решение. Для вычисления корней из больших чисел удобно использовать их разложение на простые множители, что можно сделать согласно основной теореме арифметики.
. Из полученного разложения можно записать:
.
Ответ. 28.
Пример 4. Вычислить .
Решение. Для выполнения умножения дробей и извлечения из них квадратного корня необходимо привести их к виду неправильных дробей.
и
. Подставим полученные дроби под знак корня:
.
Ответ..
Пример 5. Вычислить .
Решение. Этот пример демонстрирует, что в некоторых случаях для преобразования численных выражений удобно пользоваться формулами сокращенного умножения, в данном случае это формула разности квадратов.
.
Ответ..
3. Пример на функциональное тождество
Пример 6. Дано: . Доказать:
.
Доказательство. Отметим, что указанная функция имеет область определения из определения квадратного корня. Выпишем, чему равны левая и правая часть доказываемого тождества:
, что и требовалось доказать.
Доказано.
На следующем уроке мы начнем рассмотрение преобразований выражений с корнями.
Список литературы
1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Портал для всей семьи .
2. Подготовка к единому государственному экзамену по математике .
3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» .
Домашнее задание
1. №323, 326, 334, 346. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Вычислите: а) , б)
, в)
, г)
.
3. Используя свойства квадратных корней, найдите значение числового выражения: а) , б)
, в)
.
4. Вычислите: а) , б)
.