Таблица производных. Типовые задачи

На этом уроке изучается тема: «Таблица производных. Типовые задачи». Ранее были найдены производные двух простейших функций. На этом занятии продолжается изучение таблицы производных, изучаются формулы дифференцирования. Кроме того, рассматривается несколько типовых задач на эту тему.

Тема: Производная

Урок: Таблица производных. Типовые задачи

1. Повторение темы предыдущего урока

Если разностное отношение стремится к какому-нибудь числу, при , то это число называется производной . Вывели производные двух простейших функций и проанализировали их. Теперь продолжим таблицу производных.

2. Продолжение таблицы производных. Производная линейной функции

1. , где

2.

3.

4.

5. .

Это начало таблицы. Ранее было рассмотрены производные функций , и . Повторим алгоритм нахождения производной на примере линейной функции.

Итак, дана линейная функция . В точке функция равна . Запишем .

Можно сделать графическую иллюстрацию (см. рис.1).

График линейной функции

Рис. 1. График линейной функции.

На графике функции , где - ордината точки пересечения с осью OY, то есть , а - угловой коэффициент. Зафиксируем точку , дадим приращение . В момент значение функции равно , а в другой момент времени значение функции в точке равно

. Подставим найденные значение в разностное отношение, раскроем скобки, затем упростим и получим:

Итак, ми доказали, что .

Физический смысл заключается в том, что мгновенная скорость в любой момент времени одна и та же. Еще раз напомним, что . Для линейной функции касательная в любой точке совпадает с самой прямой, то есть

– геометрический смысл.

3. Примеры

1. Дано . Найти

Решение.

. Таким образом производная линейной функции одна и та же в любой точке.

Частные случаи.

2.

3.

4. ; если , то , где .

Физическая интерпретация: если в данный момент от дома находиться на одном и том же расстоянии, то скорости нет, и соответственно, производная равна нулю.

Итак, мы рассмотрели начало таблицы производных.

4. Ложная производная

Иногда в тупик ставит, так называемая, ложная производная.

.

Почему верно равенство? Потому, что , а производная постоянной равна нулю.

Итак, мы рассмотрели еще одну очень важную формулу для нахождения производных. Продолжим рассмотрение типовых задач.

5. Типовые задачи

Продолжим таблицу.

(1)

В качестве типовой задачи выведем формулу .

       

Дано: . Ясно, что эта функция определена там, где .

Доказать формулу (1).

Доказательство:

Найдем разностное отношение, рассмотрев геометрическую интерпретацию (см. рис.2).

Функция f(x)=√x

Рис. 2. Функция .

Если зафиксировать и задать приращение , то получим новое значение аргумента и, соответственно, новое значение функции, получим . Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются два приращения: приращение аргумента и приращение функции .

Итак, .

Упростим выражение путем освобождения от иррациональности, а именно, числитель и знаменатель умножим на сопряженное выражение . Итак,

Проанализируем полученное выражение при , получим:

- это произвольное допустимое число, поэтому . Итак, вывели первую формулу. Обсудим. Сама функция была определена при любом , . А производная? Производная определена для всех , так как в знаменателе. В чем причина такого обстоятельства? Вспомним, что . В точке тангенс – величина положительная. Если , то в точке касательная совпадает (нужно строго доказывать) с осью Y, то есть наклонена к оси X под углом , а - не существует. Естественно, что и производная в точке - не существует.

Доказательство формулы предлагается в качестве самостоятельного задания.

Решим еще одну задачу.

Дано:

Найти или найти тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой 4. Решение.

1. Найти производную в любой точке .

2. Найти производную в заданной точке .

.

6. Итог урока

Итак, мы рассмотрели таблицу производных, которую постепенно дополняется новыми формулами.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics. ru .

2. Портал Естественных Наук .

3. Интернет-портал Exponenta. ru .

Сделай дома

№ 41.8, 41.26(б, г) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Рефератов нет, есть поурочные планы и разработки уроков