Типовые задачи по теме «Арифметическая прогрессия»

Представляем вашему вниманию видеоурок по теме «Типовые задачи по теме “Арифметическая прогрессия”». В начале урока преподаватель систематизирует знания учащихся по пройденному ранее материалу «Арифметическая прогрессия»: дает определение, приводит формулы и определяет характеристики арифметической прогрессии. После краткого повторения теории преподаватель переходит к рассмотрению решений конкретных задач.

Тема: Прогрессии

Урок: Решение типовых задач по теме “Арифметическая прогрессия”

1. Повторение

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью.

.

2. – формула n-го члена арифметической прогрессии.

, т. е. n-й член арифметической прогрессии зависит от n, значит, является функцией натурального аргумента.

3. – первая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

– вторая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

исловая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

5. Обобщение характеристического свойства арифметической прогрессии:

n-й член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому равноотстоящих членов, т. е. при допустимых значениях p ().

6. Свойство членов арифметической прогрессии: , если . Например, .

2. Решение задач

Задача 1.

Дано: n-й член последовательности задан формулой

а. , б. .

Доказать: , .

Доказательство.

1-й способ. Поскольку и являются линейными функциями натурального аргумента, то .

2-й способ. Докажем, по определению, что , т. е. покажем, что разность двумя соседними членами последовательности есть величина постоянная.

, а это означает, что .

- члены этой .

, а это означает, что

.

.

- члены этой .

Задача 2. Докажите, что данные последовательности , являются арифметическими прогрессиями с помощью характеристического свойства арифметической прогрессии.

3-й способ. Проверим истинность равенства .

Для первой последовательности:

. Следовательно, .

Для второй последовательности:

. Следовательно, .

Задача 3.

Дано: .

Найти: 1. Формулу n-го члена заданной арифметической прогрессии;

2. d – разность арифметической прогрессии;

3. ; 4) .

Решение. .

– формула n-го члена арифметической прогрессии. Тогда

.

– формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

.

Ответ: , d=3, , .

Задача 4.

Дано: .

Найти: 1. d – разность арифметической прогрессии;

2. Формулу n-го члена заданной арифметической прогрессии;

3. Номер наибольшего двузначного числа.

Решение.

1. – формула n-го члена арифметической прогрессии.

;

2. .

3.

Номер наибольшего двузначного числа Проверка: .

Ответ: d=7, , n=13.

Задача 5.

Дано: , , .

Найти: .

       

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

для выражения членов данной прогрессии:

, Составим и решим систему:

Т. к. по условию арифметическая прогрессия возрастающая, то .Поэтому

Теперь можем найти : .

Ответ: .

Задача 6.

Дано: .

Найти: является ли число 41 членом данной арифметической прогрессии.

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

:

; 41=4n-11; n=13.

Ответ: да,

Задача 7.

Дано: .

Найти: с какого номера все члены данной арифметической прогрессии больше 141.

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

:

Проверка: .

Ответ: с номера .

Задача 8.

Дано: .

Найти: .

Решение.

1-й способ.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

для выражения членов данной прогрессии:

Составим и решим систему:

.

Ответ: .

2-й способ.

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: .

Ответ: .

3-й способ.

По определению арифметической прогрессии:

Ответ: .

3. Итог урока

Мы повторили свойства арифметической прогрессии и решили типовые задачи. На следующем уроке продолжим решение задач на арифметическую прогрессию.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков, К. И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А. Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А. Г. , Мишутина Т. Н., Тульчинская Е. Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г. И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College. ru по математике .

2. Портал Естественных Наук .

3. Exponenta. ru Образовательный математический сайт .

Рекомендованное домашнее задание

1. № 448, 457 (Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.104 (Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).