Типовые задачи по теме "Арифметическая прогрессия" (Продолжение)

В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме «Типовые задачи по теме "Арифметическая прогрессия" (продолжение)». На данном уроке преподаватель повторяет ранее изученный материал касательно арифметической прогрессии. В процессе занятия у учащихся нарабатываются навыки решения типовых разноплановых задач по теме «Арифметическая прогрессия».

Тема: Прогрессии

Урок: Решение типовых задач по теме “Арифметическая прогрессия”

1. Повторение

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью.

.

2. – формула n-го члена арифметической прогрессии.

, т. е. n-й член арифметической прогрессии зависит от n, значит, является функцией натурального аргумента.

3. – первая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

– вторая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

5. Обобщение характеристического свойства арифметической прогрессии:

n-й член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому равноотстоящих членов, т. е. при допустимых значениях p ().

6. Свойство членов арифметической прогрессии: , если . Например, .

2. Решение задач

Задача 1.

Дано: .

Найти: .

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

для выражения членов данной прогрессии (основной метод решения подобных задач):

Составим и решим систему:

Ответ: .

Примечание:

Задача 2.

Проверить

Решение.

Задача 3.

Дано: .

Найти: .

Решение.

Воспользуемся обобщенным характеристическим свойством арифметической прогрессии: . Откуда, . Следовательно,

Составим и решим систему:

Ответ:

Задача 4.

При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой в частном получается 2 и в остатке 5. Найти .

Повторение: 1.

2.

3. +5.

Дано: .

Найти: .

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

для выражения членов данной прогрессии:

Составим и решим систему:

Ответ: .

       

Задача 5.

Сумма цифр четырехзначного числа равна 16. Найдите это число, если его цифры образуют арифметическую прогрессию и цифра единиц на 4 больше цифры сотен.

Повторение. Каждое число в десятичной системе счисления можно записать следующим образом:

Дано: .

Найти: х.

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

для выражения членов данной прогрессии:

Составим и решим систему:

.

Ответ: .

Задача 6.

Найдите x, при котором числа образуют конечную арифметическую прогрессию.

Решение.

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: .

Решая полученное квадратное уравнение, получаем

Ответ:

Задача 7.

Сумма 75-ти первых членов арифметической прогрессии равна 450. Найти 38-й член прогрессии.

Дано: , .

Найти: .

Решение:

Общая формула:

.

В нашем случае:.

Ответ: .

Задача 8.

Докажите, что последовательность, сумму n первых членов которой можно вычислить по формуле , , является арифметической прогрессией.

Решение.

. Тогда,

Равенство означает, что -й член линейно зависит от , значит, последовательность является арифметической прогрессией с разностью . Покажем, что и последовательность тоже является арифметической прогрессией. Действительно,

. Следовательно, Таким образом, доказано, что . Значит, является арифметической прогрессией.

3. Итог урока

На уроке повторили свойства арифметической прогрессии и решили типовые задачи. Следующий урок посвятим обзору по теме арифметическая прогрессия.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков, К. И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А. Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А. Г. , Мишутина Т. Н., Тульчинская Е. Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г. И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College. ru по математике .

2. Портал Естественных Наук .

3. Exponenta. ru Образовательный математический сайт .

Рекомендованное домашнее задание

1. № 443, 447, 451 (Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.108 (Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).