Тригонометрические функции углового аргумента (алгебра 9 класс)

К изучению предлагается тема «Тригонометрические функции углового аргумента». Угол и действительное число друг друга заменяют. Рассматривается, как выглядит тригонометрическая функция углового аргумента. Напоминаются условия существования числовой оси и числовой окружности, величина углов и длина дуги, sin и cos α и как найти катет? выразив его через гипотенузу и пр. Разбираются примеры задач с использованием изученных формул.

Тема: Элементы теории тригонометрических функций

Урок: Тригонометрические функции углового аргумента

1. Тема урока, введение

Мы ввели тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Аргументом было любое действительное число. Привычнее аргументом считать угол. В некотором смысле и угол, и действительное число друг друга заменяют. Рассмотрим тригонометрическую функцию углового аргумента.

2. Единичная окружность

Рассмотрим единичную окружность, помещенную в координатную плоскость.

Длина окружности

Вспомним, что для того, чтобы ось была числовой необходимо

1. Задать начало отсчета.

2. Задать направление.

3. Задать масштаб.

На числовой окружности также есть

1. Начало отсчета.

2. Направление отсчета: положительное - против часовой стрелки или отрицательное - по часовой стрелке.

3. Масштаб – в нашем случае – вся окружность длиной

Числу соответствует т. М и ее абсцисса и ордината есть (рис.1).

Точка М высекает центральный угол

Для измерения углов мы вводили радиан - центральный угол, длина дуги которого равна радиусу (рис.3).

В окружности длиной укладывается радиан, т. е. . Это связь градуса и радиана.

Отсюда мы выводили длину дуги. Длина дуги

Т. е. если взять угол в радиан, то длина дуги вычисляется как

Если R=1, то длина дуги численно равна углу в радианах.

Это означает, что величина численно равна t.

3. Угловой аргумент

Мы можем считать аргументом либо любое действительное число, либо соответствующий ему центральный угол.

Получаем функцию: tможно заменить на получаем

заменяем tна получаем

Рассматривая тригонометрическую функцию действительной переменной либо тригонометрическую функцию углового аргумента, мы получаем ту же самую функцию.

4. Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Вспомним, что мы вводили как величины, зависящие от угла в прямоугольном треугольнике.

Вспомним определения и следствия из определений

По определению, (рис.4).

Отсюда следует что Мы выразили катет через гипотенузу.

Также можно катет выражать через другой катет:

Проверим, не противоречит ли новое определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса тем, которыми мы уже пользовались.

Рассмотрим прямоугольные треугольники (рис.5):

       

Значит,

Но Т. е. синус числового аргумента и синус углового аргумента одни и те же.

Мы показали, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые были в прямоугольном треугольнике, остаются в силе, они только расширены на произвольный угол либо на произвольное число.

5. Задача на вычисление

Рассмотрим задачу на вычисление.

Дано: Найти все t.

Таких tбесчисленное множество. Проиллюстрируем на единичной окружности, помещенной в координатную плоскость.

Отметим на оси y. Такую ординату имеют точки Точке соответствует одно число и бесчисленное множество других чисел, и точке также. Вместо tможно рассматривать центральные углы и их тоже бесчисленное множество – угол плюс полный оборот.

Зададим четверть. Будем считать, что Тогда t–единственное число.

Это стандартное задание числа или угла в тригонометрии – задано значение функции и предел изменений, т. е. четверть.

Найдем теперь значение всех остальных тригонометрических функций

Решение:

основное тригонометрическое тождество.

четверти, в этой четверти

Ответ:

На примере мы убедились, что найти единственное решение возможно, только если задан предел изменения аргумента (четверть).

Очень важно правильно определить знак функции в данной четверти и отобрать подходящее значение.

6. Заключение

Итак, мы рассмотрели пример на вычисление по данному значению одной тригонометрической функции значений всех остальных тригонометрических функций с использованием основных тригонометрических тождеств.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Открытая математика .

2. РЕШУ ЕГЭ .

3. РЕШУ ЕГЭ .

4. РЕШУ ЕГЭ .

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 641; 642.