Тригонометрические функции y=sin t, y=cos t

На этом уроке мы повторим определение синуса и косинуса и подробно рассмотрим основные свойства тригонометрических функций у = sin x и у = cos x.

Мы вспомним определение функции как закона соответствия. Также подробно рассмотрим числовую окружность и линии синусов и косинусов. Вспомним, что такое числовой и угловой аргумент и что единицы измерения углов – радиан и градус. Дадим определение периодичности и наименьшего положительного периода рассматриваемых тригонометрических функций. Также будут рассмотрены графики этих функций: у = sin x и у = cos x.

Дополнительно в уроке разбираются несколько простых задач на изученные темы.

Тема: Повторение курса алгебры 10 класса

Урок: Тригонометрические функции x = sin t, y = cos t

1. Определение функции

Функцией называется закон, по которому каждому допустимому значению x ставится в соответствие единственное значение .

x – аргумент, независимая переменная

y – функция, зависимая переменная

X – область определения. Обозначается D(f)

Y – область значений. Обозначается E(f)

2. Определение функцій x = sin t, y = cos t

Наша цель – вспомнить, что означает и понять, что .

Вспомним определения конкретных функций .

Рассмотрим координатную плоскость и единичную окружность на ней (Рис. 1).

Рис. 1.

Любое число высекает единственную точку на этой окружности. Это объясняется тем, что любому числу соответствует единственная длина дуги: если число положительное, то откладываем по часовой стрелке, если нет – то против часовой стрелки.

Эта точка будет иметь две координаты. То есть . Назовем . Запишем это кратко:

1. ;

2. ;

– абсцисса т..

– ордината т. .

3. – линия косинусов.

– линия синусов.

3. Cвязь числового и углового аргумента

Числовой и угловой коэффициенты

Рис. 2.

Напомним, что .

То есть точку можно получить через (длину дуги), а можно через угол (в радианах) (Рис. 2).

Тогда . В силу этого равенства .

Угол определен следующим образом .

4. Радиан и градус

Угол можно измерять в градусах и радианах.

Радиан – это такой центральный угол, дуга которого равна (Рис. 3).

Рис. 3.

1. Радиан: .

2. Число – отношение длины окружности к ее диаметру.

Для любых окружностей получим одно и то же число:

Тогда можно выразить длину окружности .

3. Связь градусов и радиан: .

Отсюда

Отметим часто используемые углы:

.

.

Через радиан удобно выражаются многие величины. В том числе и длина дуги.

5. Длина дуги и величины угла

Длина угла и величина дуги.

       

Вернемся к Рис. 2.

.

.

Поскольку , то .

Мы подтвердили связь между угловым и числовым коэффициентом.

Подытожим сказанное и запишем основные факты (Рис. 4).

Число задает единственную точку окружности.

Но точка окружности соответствует множеству чисел То есть , то есть множеству целых чисел.

.

Тогда .

– наименьший период функций.

Рис. 4.

6. Примеры

Примеры:

Рис. 5.

т. А: .

т. В: .

7. График y = sin t

Построим график функции (Рис. 6)

Рис. 6.

.

Эта функция является нечетной: .

Если , то это значение будет достигаться в точке , и такое значение единственно.

8. График y = cos t

Рассмотрим график функции .

Заметим, что из формул приведения . То есть график синусоиды можно просто сдвинуть на влево (Рис. 7).

Рис. 7.

.

Эта функция является четной: , поэтому график функции симметричен оси ординат.

Если , то это значение будет достигаться в точке , и такое значение единственно.

Список литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Подготовка к ЕГЭ по математике .

2. Мнемоника. ру .

3. Википедия .

Домашнее задание

1. Определите знак выражения без использования таблиц:

2. Найдите значения , если .

3. Упростите выражение

4. Алгебра и начала анализа, Мордокович А. Г.: № 55-59.