Тригонометрические уравнения, вычисления

На этом уроке мы повторим тригонометрические уравнения и вычисления.

В начале урока мы вспомним определения прямой и обратной задачи для некоторой функции и повторим определения основных тригонометрических функций. Решим несколько простейших тригонометрических уравнений и более сложное уравнение с использованием замены переменной.

В конце урока мы вспомним формулы двойного и половинного аргумента, а также формулу универсальной тригонометрической подстановки и решим обобщенную задачу на эту тему.

Тема: Повторение курса алгебры 10 класса

Урок: Тригонометрические уравнения, вычисления

1. Определение прямой и обратной задачи

С любой конкретной функцией связаны две задачи: прямая и обратная.

Пусть .

Прямая задача:

Дано: задано значение аргумента .

Найти: соответствующее значение функции .

Обратная задача:

Дано: задано значение функции .

Найти: множество всех значений аргумента , при которых (найти все значения , удовлетворяющие данному соотношению).

Решение прямой и обратной задачи зависит от закона, по которому каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.

2. Напоминание определений функций

y = sin t, y = cos t, y = tg t, y = ctg t

Напомним каждый из этих законов для тригонометрических функций.

Рис. 1.

Таким образом, заданы функции .

Заметим, что , если вычислять в радианах.

После сделанных напоминаний рассмотрим подробно следующее уравнение:

Дано: .

Найти: все значения аргумента , синус которых равен .

Рис. 2.

Решение:

Ответ:

3. Рассмотрение решения тригонометрического уравнения

Решение множества тригонометрических уравнений заключается в сведении их к простейшим уравнениям:

1.

2.

3.

4.

4. Сведение тригонометрических уравнений к простейшим

Следующая задача позволит проверить, насколько четко мы понимаем решение одного из простейших уравнений.

Решить систему:

В данном случае мы имеем смешанную систему, то есть в системе есть как уравнение, так и неравенство.

Обсудим решение уравнения.

Точки проектируются на линию косинусов в точку . Точка соответствует множеству углов, а именно . Точка соответствует другому множеству углов, а именно (Рис. 3).

Рис. 3.

Таким образом, мы обсудили, как необходимо решить задачу.

5. Рассмотрение решения простейшего тригонометрического уравнения

Решение:

1.

2.

Так как для точки , а для точки , получаем ответ.

Ответ: .

6. Применение метода замены переменных для сведения исходного тригонометрического уравнения к простейшему

Имеется несколько важнейших методов, с помощью которых исходное тригонометрическое уравнение сводится к простейшему. Важнейшим из этих методов является замена переменных.

Продемонстрируем данный метод на следующем уравнении.

Решить уравнение: .

Решение:

Так как аргументы в данном уравнении одинаковы, а функции разные, необходимо свести к одной функции:

В результате решения квадратного уравнения получили корни:

       

Оказывается, исходное уравнение равносильно уравнению:

Ответ: .

7. Основные формулы тригонометрии в применении для решения простейшей вычислительной задачи

Сведение тригонометрических уравнений к простейшим, многочисленные преобразования выполняются с помощью формул тригонометрии. Некоторые из них мы вспомним с помощью следующей обобщенной вычислительной задачи.

Дано: .

Найти:

1. ;

2. ;

3.

Рис. 4.

Решение:

Рис. 5.

1. Вспомним связь между тангенсом и косинусом:

Так как тангенс нам известен:

Найдем :

И, наконец, используем связь между синусом и котангенсом:

Ответ:

Рис. 6.

2. Воспользуемся формулами понижения степени и найдем :

Найдем :

Ответ: .

3. . Отсюда ;

. Отсюда ;

. Отсюда ;

.

Ответ: ; ..

Список литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Вся элементарная математика .

2. Подготовка к ЕГЭ по математике .

3. Википедия .

Домашнее задание

1. Упростите выражение: при .

2. Докажите тождество:

3. Решите уравнение: .

4. Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 278-280, 286, 288