Урок 11. Закрепление пройденного материала. Тригонометрические неравенства. Решение различных задач повышенной сложности. Теория

На этом уроке мы повторим все основные понятия, которые нам встречались в теме «Тригонометрия», и познакомимся с общими решениями тригонометрических неравенств.

Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов заданий В5, В7, С1 и С3.

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 11. Закрепление пройденного материала. Тригонометрические неравенства. Решение различных задач повышенной сложности.

Теория

Конспект урока

Повторение тригонометрии

Начнем с повторения основных пунктов темы «Тригонометрия».

1) Изначально тригонометрические функции вводятся через соотношения сторон в прямоугольном треугольнике, но при этом следует помнить, что они зависят только от углов, а не от сторон треугольника.

2) При работе с тригонометрическими функциями следует привыкать к радианной мере угла, для этого необходимо запомнить формулу перевода градусов в радианы:

3) Тригонометрические функции определяются не только для углов, т. е. аргументов, которые не превышают и больше , но и для всех остальных значений. Для этого используется тригонометрическая окружность.

4) Исходя из методики работы с тригонометрической окружностью, легко получить область значений тригонометрических функций:

5) Тригонометрические функции обладают свойством периодичности: период синуса и косинуса равен , т. е. , период тангенса и котангенса равен , т. е. .

6) Между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента существуют часто использующиеся соотношения, которые называются основными тригонометрическими тождествами. Их необходимо запомнить.

7) Значения тригонометрических функций некоторых углов занесены в специальную таблицу. Они часто упоминаются в задачах, поэтому в этой таблице необходимо уверенно ориентироваться.

8) Тригонометрические функции со сложным аргументом вида или легко упрощаются с помощью формул приведения. Для них существует специальная таблица, однако проще понять принцип их применения с помощью тригонометрической окружности.

9) Для преобразования тригонометрических функций существует достаточно большое количество формул. Полезно, конечно же, помнить все формулы, которые мы привели в соответствующем уроке, однако некоторые из них можно выразить самостоятельно, например, формулы для тангенсов.

10) Для решения тригонометрических уравнений обязательно необходимо владеть основными свойствами обратных тригонометрических функций, знать их область определения и значений, а также уметь выносить минус из аргумента.

11) Все основные свойства тригонометрических функций удобно запоминать и использовать при помощи построения их графиков. К особенным свойствам таких функций следует отнести их периодичность и ограничения на их область определения и значений.

12) Все тригонометрические уравнения сводятся к простейшим вида , , и . Их общие решения необходимо запомнить, давайте еще раз их повторим:

1.

2.

3.

4.

Из таких уравнений выделяют частные случаи, когда синус или косинус равны . Такие уравнения решаются с помощью тригонометрической окружности.

При решении систем большинства тригонометрических уравнений используются стандартные методы, например, метод подстановки.

Тригонометрические неравенства

Теперь поговорим о решении тригонометрических неравенств. Обычно им не уделяется должное внимание по сравнению с другими видами неравенств, к тому же они относятся к задачам повышенной сложности, поэтому мы не стали выделять их в отдельный урок.

В теоретической части урока приведем общие решения простейших тригонометрических неравенств. Они неудобны для запоминания, поэтому в практической части урока мы рассмотрим методы их решения без использования указанных формул.

Все тригонометрические неравенства, как и уравнения, сводятся к простейшим, поэтому, прежде всего, необходимо уметь решать именно их.

Для синусов и косинусов общие решения простейших неравенств выглядят следующим образом:

1)

1.

       

2.

3.

2)

1.

2.

3.

3)

1.

2.

3.

4)

1.

2.

3.

В случае если неравенство нестрогое, в промежутки решений включаются их концы, т. е. записываются квадратные скобки. Пустое множество решений тогда имеет место при строгих ограничениях. Например:

1.

2.

3.

Для тангенсов и котангенсов общие решения простейших неравенств выглядят следующим образом:

5)

6)

7)

8)

В нестрогих неравенствах в промежутки решений включают только корни и , т. е. у них записываются квадратные скобки, возле концов промежутков, соответствующих асимптотам, скобки остаются всегда круглыми. Например:

.

Системы тригонометрических неравенств

Кроме тригонометрических неравенств на практическом занятии мы рассмотрим их системы. Такие задания редко встречаются и скорее в качестве исключения могут оказаться только в уровне С. Выделить какие-то отдельные их виды сложно, поэтому на практике мы просто познакомимся с одним примером для того, чтобы понять принцип решения.

На этом уроке мы повторили все основные понятия, которые нам встречались в теме «Тригонометрия», и познакомились с общими решениями тригонометрических неравенств.

В практической части урока мы рассмотрим примеры решения различных тригонометрических неравенств и более сложных задач всей темы.

После изучения всех материалов урока вы сможете с помощью среза проверить, как усвоили тему «Тригонометрия».